乌龟对阿喀琉斯说的话
1895 年刘易斯卡罗尔为哲学杂誌《心灵》所写的“乌龟对阿喀琉斯说什麽”是关于逻辑基础的简短寓言对话。标题暗示了芝诺的运动悖论之一，其中阿喀琉斯永远无法在比赛中超越乌龟。在卡罗尔的对话中，乌龟挑战阿喀琉斯使用逻辑的力量让他接受一个简单的演绎论证的结论。最终，阿喀琉斯失败了，因为聪明的乌龟把他带入了无限的倒退。
对话摘要
讨论首先考虑以下逻辑论点：
A：“相同的事物彼此相等”（欧几里得关係）
B：“这个三角形的两条边是相等的”
因此，Z：“这个三角形的两条边彼此相等”
乌龟问阿喀琉斯，结论是否从前提逻辑推导出来，阿喀琉斯承认它显然是这样。然后乌龟问阿喀琉斯是否有一个欧几里得的读者承认这个论点在逻辑上是有效的，作为一个序列，同时否认A和B是真的。Achilles 承认这样的读者可能存在（即，一个否定前提的读者），并且他认为如果 A和B为真，则 Z必须为真，但尚未接受A和B为真。
然后乌龟问阿喀琉斯是否可能存在第二种读者，他接受A和B为真，但尚未接受如果 A和B都为真，则 Z必须为真这一原则。阿喀琉斯向乌龟授予第二种读者可能也存在。然后，乌龟要求阿喀琉斯将乌龟视为第二种读者。阿基里斯现在必须在逻辑上迫使乌龟接受Z必须是真的。（乌龟是否认论证形式本身的读者；三段论的结论、结构或有效性。）
在他的笔记本上写下A、B和Z后，阿基里斯要求乌龟接受以下假设：
C：“如果A和B为真，则Z必须为真”
乌龟同意接受C，如果阿喀琉斯会在他的笔记本上写下它必须接受的内容，提出新的论点：
A：“相同的事物是平等的”
B：“这个三角形的两条边是相等的”
C：“如果A和B为真，则Z必须为真”
因此，Z：“这个三角形的两条边彼此相等”
但是现在乌龟接受了前提C，它仍然拒绝接受扩展论证。当阿基里斯要求“如果你接受A和B和C，你必须接受Z ”时，乌龟评论说这是另一个假设命题，并建议即使它接受C，如果它没有看到真相：
D：“如果A和B和C为真，则Z必须为真”
一旦阿喀琉斯写下每个假设前提，乌龟就会继续接受它，但否认结论必然遵循，因为每次它都否认如果到目前为止写下的所有前提都为真，Z必须为真的假设：
“终于我们到了这个理想赛马场的尽头！既然你接受了 A和B和C和D，你当然接受了Z。”
“是吗？” 乌龟无辜地说。“让我们说清楚。我接受A和B以及C和D。假设我仍然拒绝接受Z？”
“那逻辑就会扼住你的喉咙，强迫你去做！” 阿喀琉斯得意洋洋地回答。“逻辑会告诉你，'你无法控制自己。既然你已经接受了A和B以及C和D，你必须接受Z！' 所以你别无选择，你看。”
“任何逻辑足以告诉我的东西都值得写下来，”乌龟说。“所以请把它记在你的笔记本上。我们会叫它
( E ) 如果 A和 B以及 C和 D为真，则 Z必须为真。
在我同意之前，我当然不需要同意Z。所以这是一个非常必要的步骤，你明白吗？”
“我明白了，”阿喀琉斯说。他的语气中带着一丝悲伤。
因此，前提列表继续无止境地增长，使论点始终採用以下形式：
(1)：“相等的事物彼此相等”
(2)：“这个三角形的两条边是相等的东西”
(3): (1) 和 (2) ⇒ (Z)
(4): (1) 和 (2) 和 (3) ⇒ (Z)
...
( n ): (1) 和 (2) 和 (3) 和 (4) 和 ... 和 ( n - 1) ⇒ ( Z )
因此， ( Z )：“这个三角形的两条边彼此相等”
在每一步，乌龟都争辩说，即使他接受了所有已经写下的前提，还有一些进一步的前提（如果 (1)-( n ) 都为真，那麽 ( Z ) 必须为真）在被迫接受 ( Z ) 为真之前，它仍然需要接受。
解释
刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）表明存在由前件推理推理引起的回归问题。
P → Q , P/∴ Q
或者，用语言来说：命题P（为真）蕴含Q（为真），并且给定P，因此Q。
回归问题的出现是因为需要先验原则来解释逻辑原则，这裡是先决条件，并且一旦解释了该原则，就需要另一个原则来解释该原则。因此，如果因果链要继续下去，论证就会陷入无限倒退。但是，如果引入了一个正式系统，其中先决条件只是系统内定义的推理规则，则只需在系统内进行推理即可遵守。这并不是说根据这个形式系统进行推理的用户同意这些规则（例如，考虑建构主义者对排中律的拒绝和辩证神论者对不矛盾律的拒绝）。这样，将逻辑形式化为一个系统可以被认为是对无限倒退问题的回应：前件式作为规则被置于系统内，前件式的有效性在没有系统的情况下被迴避。
在命题逻辑中，逻辑含义定义如下：
P 蕴含 Q 当且仅当命题不是 P 或 Q是重言式。
因此 de modo ponente，[P ∧ (P → Q)] ⇒ Q，根据刚刚陈述的逻辑蕴涵的定义，是一个有效的逻辑结论。展示逻辑含义简单地转化为验证複合真值表产生重言式。但是乌龟并不相信这个解释所依据的命题逻辑规则。他要求这些规则也受到逻辑证明的约束。乌龟和阿喀琉斯不同意任何逻辑蕴涵的定义。
此外，这个故事暗示了命题解决方案的问题。在命题逻辑系统中，没有任何命题或变量带有任何语义内容。一旦任何命题或变量出现语义内容，问题就会再次出现，因为语义内容在系统之外运行。因此，如果要说解决方案有效，则可以说它仅在给定的形式系统内有效，而不是在其他情况下有效。
一些逻辑学家（肯尼斯·罗斯、查尔斯·赖特）在条件连接和蕴涵关係之间做出了明确的区分。这些逻辑学家使用短语not p 或 q来表示条件连接词，而术语蕴涵则用于断言的蕴涵关係。
讨论
几位哲学家试图解决卡罗尔悖论。Bertrand Russell在《数学原理》 （1903）的第 38 节中简要讨论了这个悖论，区分了蕴涵（与形式“如果p，则q ”相关），他认为这是未断言命题之间的关係，以及推理（相关形式为“ p，因此q ”），他认为这是断言命题之间的关係；做出这种区分后，罗素可以否认乌龟 试图从A和B等同于或依赖于同意假设“如果A和B为真，则Z为真”。
维特根斯坦的哲学家彼得·温奇在《社会科学的理念及其与哲学的关係》（1958）中讨论了这个悖论，他认为该悖论表明“得出推理的实际过程，毕竟是核心逻辑，是不能用逻辑公式表示的东西……学习推断不仅仅是教授命题之间明确的逻辑关係；它是学习做某事”。温奇接着提出，对话的道德是一般课程的一个特例，其大意是，管理一种人类活动形式的规则的正确应用本身不能用一组进一步的规则，因此“人类活动的一种形式永远不能用一组明确的规则来概括”。
卡罗尔的对话显然是对关于逻辑真理的约定主义障碍的第一次描述， 后来由WVO 奎因以更清醒的哲学术语进行了改造。
