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良序关係

在数学中，集合S 上的良序（或良序或良序关係）是S上的全序，其属性是S的每个非空子集在此排序中具有最小元素。集合S与良序关係一起称为良序集合。在一些学术文章和教科书中，这些术语被写成wellorder、wellordered和wellordering

每个非空良序集都有一个最小元素。一个良序集合的每个元素s，除了一个可能的最大元素，都有一个唯一的后继元素（下一个元素），即所有大于s 的元素的子集中的最小元素。除了最小元素之外，可能还有没有前导的元素（参见下面的自然数示例）。一个良序集S对于每个具有上界的子集T都包含一个最小上界，即S中T的所有上界的子集的最小元素。

如果 ≤是非严格井序，则 < 是严格井序。当且仅当关係是有根据的严格全序时，关係才是严格的井 序。严格和非严格井阶之间的区别通常被忽略，因为它们很容易相互转换。

每个良序集都与唯一序数唯一同构，称为良序集的阶类型。等价于选择公理的良序定理表明每个集合都可以是良序的。如果一个集合是良序的（或者即使它仅仅承认一个有根据的关係），超限归纳的证明技术可以用来证明一个给定的陈述对于集合的所有元素都是正确的。

通过通常的小于关係对自然数进行良好排序的观察通常称为良好排序原则（对于自然数）。

序数

每个良序集都与唯一序数唯一同构，称为良序集的阶类型。有序集中每个元素的位置也由序数给出。在有限集的情况下，计数的基本操作，找到特定对象的序数，或找到具有特定序数的对象，对应于将序数一一分配给对象。大小（元素个数、基数) 的有限集等于订单类型。日常意义上的计数通常从 1 开始，因此它为每个对象分配初始段的大小，并将该对像作为最后一个元素。请注意，根据同构顺序，这些数字比正式序数多一，因为它们等于早期对象的数量（对应于从零开始计数）。因此，对于有限n，良序集合的表达式“第n个元素”需要上下文来知道它是从零开始计数还是从一开始计数。在符号“β-th element”中，β也可以是无限序数，它通常从零开始计数。

对于一个无限集，顺序类型决定了基数，但不是相反：特定基数的良序集可以有许多不同的顺序类型（参见下面的自然数，例如）。对于可数无限集，可能的订单类型集是不可数的。

例子和反例

自然数

自然数的标准排序≤是一个很好的排序，并且具有每个非零自然数都有一个唯一的前驱的附加属性。

通过定义所有偶数都小于所有奇数来给出自然数的另一种良好排序，并且通常的排序适用于偶数和奇数：

0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...

这是一个有序类型 ω + ω 的有序集合。每个元素都有一个后继元素（没有最大元素）。两个元素缺少前任：0 和 1。

整数

与自然数的标准排序 ≤ 不同，整数的标准排序 ≤不是一个很好的排序，因为例如，负整数的集合不包含最小元素。

以下关係R是整数良好排序的示例：x R y 当且仅当以下条件之一成立时：

x = 0

x为正，y为负

x和y都是正数，并且x ≤ y

x和y都是负数，并且 | x | ≤ | 是|

这种关係R可以形象化如下：

0 1 2 3 4 ... -1 -2 -3 ...

R与序数ω + ω同构。

对整数进行良好排序的另一个关係是以下定义：x ≤ z y 当且仅当(| x | < | y | 或 (| x | = | y | and x ≤ y ))。这个井序可以如下可视化：

0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 ...

这具有订单类型ω。

雷亚尔

任何实数区间的标准排序 ≤都不是良好排序，因为例如，开区间(0, 1) ⊆ [0,1] 不包含最小元素。从集合论的ZFC 公理（包括选择公理）中，可以证明实数的有序性。Wacław Sierpiński还证明了 ZF + GCH（广义连续统假设）意味着选择公理，因此是实数的良阶。儘管如此，有可能证明仅 ZFC+GCH 公理不足以证明实数的可定义（通过公式）井阶的存在。[1]然而，存在可定义的实数的良好排序与 ZFC 一致——例如，与 ZFC 一致的是V=L，并且从 ZFC+V=L 可以得出一个特定的公式对实数进行良好排序，或者实际上任何放。

标准有序 ≤ 的实数的不可数子集不能是良序：假设X是R的子集，按 ≤ 良序。对于X中的每个x，令s ( x ) 是x in ≤ 在X上排序的后继（除非x是X的最后一个元素）。令A = { ( x , s ( x )) | x ∈ X }，其元素为非空且不相交的区间。每个这样的区间至少包含一个有理数，所以存在一个单射函数从A到Q。有一个从X到A的注入（可能除了 X 的最后一个元素，它可以稍后映射到零）。众所周知，有一个从Q到自然数的注入（可以选择它来避免达到零）。因此存在从X到自然数的注入，这意味着X是可数的。另一方面，实数的可数无限子集可能是也可能不是标准“≤”的井阶。例如，

自然数在标准排序≤下是一个很好的顺序。

集合 {1/n : n =1,2,3,...} 没有最小元素，因此在标准排序 ≤ 下不是一个好序。

井令示例：

数字集合 { - 2 - n | 0 ≤ n < ω } 具有阶类型 ω。

数字集合 { - 2 - n - 2 - m - n | 0 ≤ m , n < ω } 的阶数类型为 ω 2。上一组是该组内的一组限制点。在实数集合内，无论是普通拓扑还是有序拓扑，0也是集合的一个极限点。它也是限制点集合中的一个限制点。

数字集合 { - 2 - n | 0 ≤ n < ω } ∪ { 1 } 的阶类型为 ω + 1。对于这个集合的阶拓扑，1 是集合的一个极限点。对于实数的普通拓扑（或等效的阶拓扑），它不是。

等效

如果一个集合是完全有序的，那麽以下是等价的：

该套装井然有序。也就是说，每个非空子集都有一个最小元素。

超限归纳适用于整个有序集。

集合中每个严格递减的元素序列必须在有限多步之后终止（假设依赖选择公理）。

每个子排序都与初始段同构。

拓扑

每个良序集都可以通过赋予它有序拓扑来构成一个拓扑空间。

关于这种拓扑结构，可以有两种元素：

孤立点——这些是最小的和具有前身的元素。

极限点——这种类型不会出现在有限集中，可能会出现在无限集中，也可能不会出现；没有极限点的无限集合是阶类型为 ω 的集合，例如N。

对于子集，我们可以区分：

具有最大值的子集（即，以自身为界的子集）；这可以是整个集合的孤立点或极限点；在后一种情况下，它可能也可能不是子集的限制点。

自身无界但在整个集合中有界的子集；它们没有最大值，但在子集之外有一个上界；如果子集非空，则该上确界是子集的极限点，因此也是整个集合的极限点；如果子集为空，则该上确界是整个集合中的最小值。

整个集合中无界的子集。

当且仅当一个子集在整个集合中是无界的或者它具有一个最大值，该最大值也是整个集合的最大值时，它在整个集合中是共同的。

作为拓扑空间的良序集是第一可数空间当且仅当它的阶类型小于或等于 ω 1 ( omega-one )，即当且仅当该集合是可数的或具有最小的不可数的订单类型。

序数可定义集（V=HOD）

在数学 集合论中，如果一个集合 S可以通过一阶公式定义为有限数量的序数，则称它是可定义的。Gödel (1965)介绍了序数可定义集。

这种非正式定义的一个缺点是它需要对所有一阶公式进行量化，而这不能用集合论的语言形式化。然而，有一种不同的方式来说明可以如此形式化的定义。在这种方法中，如果存在一些序数α 1 , ..., α n的集合，则集合S被正式定义为可定义的序数，使得 S ∈ Vα₁ 和 S 可以定义为一个元素 Vα₁ 通过以α 2 , ..., α n为参数的一阶公式φ 。这裡 Vα₁ 表示由von Neumann 层次结构中的序数α 1索引的集合。换句话说，S是唯一的对象，使得 φ( S , α 2 ...α n ) 成立，其量词范围超过 Vα₁ .

所有有序可定义集的类表示为 OD；它不一定是可传递的，也不一定是 ZFC 的模型，因为它可能不满足外延公理。如果一个集合是序数可定义的并且其传递闭包的所有元素都是序数可定义的，则它是遗传序数可定义的。遗传有序可定义集的类用 HOD 表示，是 ZFC 的传递模型，具有可定义的良好排序。它与集合论的公理一致，即所有集合都是有序可定义的，因此在遗传上是有序可定义的。这种情况成立的断言称为 V = OD 或 V = HOD。它从V = L，并且等价于宇宙的（可定义的）良序的存在。但是请注意，表达 V = HOD 的公式在 HOD 中不一定成立，因为它对于集合论模型不是绝对的：在 HOD 中，对 HOD 公式的解释可能会产生更小的内部模型。

HOD 被发现是有用的，因为它是一个内部模型，可以容纳基本上所有已知的大红衣主教。这与核心模型的情况形成对比，例如，尚未构建可以容纳超紧凑基数的核心模型。