不可达基数
在集合论中，一个不可数的 基数如果不能通过基数算术的通常运算从较小的基数中得到，则它是不可达的。更准确地说，如果基数κ是不可数的，则它是强不可达的，它不是小于κ的基数小于κ的和，并且 α < κ 暗示 2^α < κ .
“不可达基数”一词是模棱两可的。直到大约 1950 年，它的意思是“弱不可达基数”，但从那时起，它通常意味着“强不可达基数”。如果一个不可数的基数是一个常规的弱极限基数，那麽它就是弱不可达的。如果它是一个常规的强极限基数，它是强不可达的，或者只是不可达的（这相当于上面给出的定义）。一些作者不要求弱和强不可达的基数是不可数的（在这种情况下 ℵ 0 是强不可达的）。Hausdorff (1908)引入了弱不可达基数， Sierpiński & Tarski (1930)和Zermelo (1930)引入了强不可达基数。
每个强不可达也是弱不可达的，因为每个强极限基数也是一个弱极限基数。如果广义连续统假设成立，则当且仅当基数是弱不可达时，它是强不可达的。
ℵ₀ ( aleph-null ) 是一个常规的强极限基数。假设选择公理，每隔一个无限基数是规则的或（弱）限制。然而，只有一个相当大的基数可以两者兼而有之，因此弱不可达。
一个序数是一个弱不可达的基数当且仅当它是一个正则序数并且它是正则序数的一个极限。（零、一和ω是正则序数，但不是正则序数的极限。）弱不可达基数的基数和强极限基数是强不可达的。
存在一个强不可达基数的假设有时以假设一个人可以在格洛腾迪克宇宙中工作的形式应用，这两个想法密切相关。
模型和一致性
Zermelo-Fraenkel 集合论与选择 (ZFC) 意味着当κ非常不可达时， V κ是 ZFC 的模型。并且 ZF 意味着当κ弱不可达时，哥德尔宇宙L κ是 ZFC 的模型。因此，ZF 与“存在一个弱不可达的基数”一起意味着 ZFC 是一致的。因此，无法访问的基数是大基数的一种。
如果V是 ZFC 的标准模型并且κ在V中是不可达的，则：V κ是Zermelo-Fraenkel 集合论的预期模型之一；Def( V κ )是 Mendelson 版本的Von Neumann-Bernays-Gödel 集合论的预期模型之一，该模型排除了全局选择，用替换和普通选择代替了大小限制；V κ +1是Morse-Kelley 集合理论的预期模型之一。这裡 Def ( X ) 是X的 Δ 0可定义子集（参见可构造宇宙）。然而，为了使V κ成为 ZF 的标准模型， κ不需要是不可访问的，甚至是基数（见下文）。
假设V是 ZFC 的模型。要么 V 不包含强不可达，要么以κ为V中最小的强不可达基数，V κ是不包含强不可达基数的 ZFC 的标准模型。因此，ZFC的一致性意味着ZFC+“没有强不可达”的一致性。类似地，要么V不包含弱不可达基数，要么将κ设为相对于V的任何标准子模型弱不可达基数的最小序数，则L κ是 ZFC 的标准模型，其中不包含弱不可达问项。所以ZFC的一致性意味着ZFC+“没有弱不可达”的一致性。这说明 ZFC 不能证明不可达基数的存在，所以 ZFC 与任何不可达基数不存在是一致的。
ZFC 是否与不可接近的基数的存在一致的问题更加微妙。上一段所勾勒的证明，即 ZFC 的一致性意味着 ZFC 的一致性+“没有不可达基数”可以在 ZFC 中形式化。但是，假设 ZFC 是一致的，没有证据证明 ZFC 的一致性意味着 ZFC 的一致性+“有一个不可达基数”可以在 ZFC 中形式化。这遵循哥德尔的第二不完备定理，这说明如果ZFC+“有一个不可达基数”是一致的，那麽它就不能证明自己的一致性。因为 ZFC +“有一个不可达基数”确实证明了 ZFC 的一致性，如果 ZFC 证明了它自己的一致性意味着 ZFC +“有一个不可达基数”的一致性，那麽后一种理论将能够证明它自己的一致性，如果它是一致的，这是不可能的。
存在无法在 ZFC 中形式化的无法访问的基数的论点。Hrbáček & Jech (1999 , p. 279)提出的一个这样的论点是，如果有一个更大的集合论模型扩展M和保留M元素的幂集。
存在适当的不可访问类
集合论中有许多重要的公理断言存在满足兴趣谓词的适当基数类。在不可达的情况下，相应的公理是断言对于每个基数μ，都有一个严格大于的不可达基数κ，μ < κ。因此，这个公理保证了无限的不可达基数塔的存在（有时可能被称为不可达基数公理）。与任何不可达基数存在的情况一样，不可达基数公理无法从 ZFC 的公理中证明。假设 ZFC，不可访问的基数公理等价于Grothendieck and Verdier：每个集合都包含在一个Grothendieck 宇宙中。ZFC 的公理与全域公理（或等效的不可访问的基数公理）一起表示为 ZFCU（不要与带有ureelements的 ZFC 混淆）。这个公理系统对于证明例如每个类别都有适当的嵌入很有用。
这是一个相对较弱的大基数公理，因为它相当于在下一节的语言中说 ∞ 是 1-不可达的，其中 ∞ 表示不在 V 中的最小序数，即模型中所有序数的类。
α - 不可达基数和超不可达基数
术语“ α-不可达基数”是模棱两可的，不同的作者使用不等价的定义。一个定义是基数κ被称为α -不可访问，对于α任何序数，如果κ不可达并且对于每个序数β < α，小于κ的β -不可达基数集合在κ中是无界的（因此基数κ，因为κ是规则的）。在这种情况下，0 不可达基数与强不可达基数相同。另一个可能的定义是基数κ被称为如果κ是规则的并且对于每个序数β < α ， α -弱不可达基数，小于κ的β -弱不可达基数的集合在中是无界的。在这种情况下，0-弱不可访问的基数是常规基数，1-弱不可达基数是弱不可达基数。
α-不可达基数也可以描述为计算较低不可达问数的函数的不动点。例如，用ψ 0 ( λ ) 表示第λ个不可达基数，则ψ 0的不动点就是1-不可达基数。然后令ψ β ( λ ) 为λ th β -不可达基数，ψ β的不动点是 ( β +1) -不可达基数（值ψ β +1 ( λ )）。如果α是一个极限序数，一个α -inaccessible 是每个ψ β的一个不动点，因为β < α（值ψ α ( λ ) 是第λ个这样的基数）。在大基数的研究中经常遇到这种取函数的不动点产生连续更大的基数的过程。
术语超不可达基数是模棱两可的，并且至少具有三个不相容的含义。许多作者用它来表示强不可达基数的常规限制（1-不可达）。其他作者用它来表示κ是κ不可达的。（它永远不可能是κ +1 -inaccessible。）它偶尔用来表示Mahlo cardinal。
术语α -hyper-inaccessible也是模棱两可的。一些作者用它来表示α -inaccessible。其他作者使用以下定义：对于任何序数α，基数κ是α -超不可达基数当且仅当κ是超不可达基数且对于每个序数β < α，小于κ的β -超不可达基数集是无界的在κ中。
可以用类似的方式定义超超不可达基数等，并且像往常一样，这个术语是模棱两可的。
使用“weakly inaccessible”而不是“inaccessible”，可以对“ weakly α -inaccessible”、“weakly hyper-inaccessible”和“ weakly α -hyper-inaccessible”做出类似的定义。
Mahlo 基数是不可达的、超不可达的、超超不可达的……等等。
不可达性的两个模型理论特徵
首先，当且仅当κ具有以下反射属性时，基数κ是不可达的：对于所有子集U ⊂ V κ，存在α < κ使得 ( V α , ∈ , U ∩ V α ) 是一个基本的子结构 ( V κ , ∈ , U ) . （事实上，这种α的集合在κ中是无界封闭的。）等价的，κ是 Π n/0-对于所有n ≥ 0 ，无法描述。
在 ZF 中可以证明 ∞ 满足稍弱的反射特性，其中子结构( V α , ∈, U ∩ V α )只需要相对于有限的公式集是“基本的”。归根结底，这种弱化的原因是，虽然模型理论的满足关係⊧可以定义，但语义真实本身（即 ⊨ V ) 不能，由于塔斯基定理。
其次，在 ZFC 下，可以证明κ是不可达的当且仅当( V κ , ∈)是二阶ZFC 的模型。
在这种情况下，根据上面的反射性质，存在α < κ使得( V α , ε)是 (一阶) ZFC 的标准模型。因此，与 ZFC 标准模型的存在相比，存在不可达基数是一个更强的假设。
