Mahlo 基数
在数学中，Mahlo 基数是某种大基数。Mahlo 基数首先由Paul Mahlo ( 1911 , 1912 , 1913 ) 描述。与所有大基数一样，ZFC 无法证明这些 Mahlo 基数变种存在（假设 ZFC 是一致的）。
一个基数 κ 被称为强 Mahlo如果 κ 是强不可达且集合 U = { λ < κ ∣ λ is strongly inaccessible } 在 κ 中是静止的。
基数 κ 被称为弱 Mahlo如果 κ 是弱不可达且弱不可达基数集小于 κ 是静止的 κ .
“Mahlo 基数”一词现在通常意味着“强 Mahlo 基数”，儘管 Mahlo 最初考虑的大基数是弱 Mahlo 基数。
Mahlo 基数的最小充分条件
如果 κ 是极限序数并且小于 κ 的规则序数集在 κ 中是静止的，则 κ 是弱 Mahlo。
证明这一点的主要困难是证明 κ 是规则的。我们将假设它不是规则的，并构造一个club set，它给我们一个 μ，使得：
μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ 这是一个矛盾。
如果 κ 不规则，则 cf(κ) < κ。我们可以选择一个严格递增且连续的 cf(κ)-序列，该序列以 cf(κ)+1 开始，并以 κ 为极限。该序列的限制将是 κ 中的club set。所以在这些限制中必须有一个规则的 μ。所以 μ 是 cf(κ) 序列的初始子序列的极限。因此，它的共定性小于 κ 的共定性，同时又大于它；这是一个矛盾。因此，κ 不规则的假设一定是错误的，即 κ 是规则的。
下面不能存在静止集 ℵ₀ 具有所需属性，因为 {2,3,4,...} 是 ω 中的俱乐部，但不包含正则序数；所以 κ 是不可数的。这是常规大基数的常规限制；所以它是弱不可达的。然后使用低于 κ 的不可数极限基数集作为club set，以表明可以假设静止集由弱不可达集组成。
如果 κ 是弱 Mahlo 并且也是一个强极限，那麽 κ 是 Mahlo。
κ 是弱不可达和强限制，所以它是强不可达的。
我们证明了低于 κ 的不可数强极限基数的集合是 κ 中的club set。令μ 0为阈值和ω 1中的较大者。对于每个有限 n，令 μ n+1 = 2 μ n小于 κ，因为它是一个强极限基数。那麽它们的极限是一个强极限基数，并且根据其规律性小于 κ。不可数强极限基数的极限也是不可数强极限基数。所以它们的集合是 κ 中的club set。将该club set与小于 κ 的弱不可达基数的静止集相交，以获得小于 κ 的强不可达基数的静止集。
示例：显示 Mahlo 基数 κ 是 κ 不可达的（超不可达）
术语“超不可达”是模棱两可的。在本节中，如果基数 κ 是 κ 不可达的（与更常见的 1 不可达的含义相反），则它被称为超不可达。
假设 κ 是 Mahlo。我们通过对 α 的超限归纳来证明对于任何 α ≤ κ ， κ 是 α 不可达的。因为 κ 是 Mahlo，所以 κ 是不可达的；因此0-不可达，这是同一回事。
如果 κ 是 α 不可达的，那麽存在任意接近 κ 的 β 不可达（对于 β < α）。考虑大于某个阈值但小于 κ 的此类 β-不可达的同时限制的集合。它在 κ 中是无界的（想像在 β < α ω 次的情况下旋转通过 β 不可达项，每次选择一个更大的基数，然后按规律取小于 κ 的极限（如果 α ≥ κ 则失败））。它是封闭的，所以它是 κ 中的club set。因此，根据 κ 的 Mahlo-ness，它包含一个不可达的。那个不可达实际上是一个α-不可访问。所以 κ 是 α+1-不可达的。
如果 λ ≤ κ 是极限序数并且 κ 对于所有 α < λ 是 α 不可达的，那麽对于某些 α < λ，每个 β < λ 也小于 α。所以这个案子是微不足道的。特别是， κ 是 κ 不可达的，因此是超不可达的。
为了证明 κ 是超不可达的极限，因此是 1-超不可达，我们需要证明对于每个 α < μ 都是 α 不可达的基数 μ < κ 的对角线集是 κ 中的club set。选择一个高于阈值的 0-inaccessible，称之为 α 0。然后选择一个 α 0 -inaccessible，称它为 α 1. 不断重複这一点并在极限处取极限，直到达到一个固定点，称之为 μ。那麽 μ 具有所需的属性（对于所有 α < μ 的 α 不可访问的同时限制）并且按规律小于 κ。此类基数的极限也有性质，所以它们的集合是 κ 中的club set。根据 κ 的 Mahlo-ness，在这个集合中有一个不可达基数并且它是超不可达的。所以 κ 是 1-hyper-inaccessible。我们可以将这个相同的club set与小于 κ 的静止集相交，得到一组小于 κ 的超不可达的静止集。
κ 是 α 超不可达的证明的其馀部分模彷了它是 α 不可访问的证明。所以 κ 是超超不可达的，等等。
α-Mahlo、hyper-Mahlo 和极大 Mahlo 基数
术语 α-Mahlo 是模棱两可的，不同的作者给出了不等价的定义。一个定义是，对于某个序数 α，基数 κ 被称为 α-Mahlo，如果 κ 是强不可达的，并且对于每个序数 β
基数 κ极大地是 Mahlo或κ + -Mahlo当且仅当它不可达并且在 Mahlo 运算下闭合的 κ 的幂集上存在正常（即非平凡且在对角线交点下闭合）κ-完全滤波器，它将序数集S映射到 {α ∈ S : α 具有不可数的共尾性并且 S∩α 在 α 中是平稳的}
如果我们将宇宙替换为内部模型，则保留了不可接近、Mahlo、弱 Mahlo、α-Mahlo、极大 Mahlo 等特性。
每个反射基数都比一个大的 Mahlo 严格地具有更多的一致性强度，但不可达的反射基数不是一般的 Mahlo
Mahlo
如果X是一类序数，我们可以形成一类新的序数M ( X )，由不可数共尾的序数 α 组成，使得 α∩ X在 α 中是静止的。这种操作M称为Mahlo 操作。它可以用来定义 Mahlo 基数：例如，如果X是常规基数的类，则M ( X ) 是弱 Mahlo 基数的类。α具有不可数共尾性的条件保证了α的封闭无界子集在交集下是封闭的，从而形成一个过滤器；在实践中X的元素通常已经有不可数的共定性，在这种情况下，这个条件是多馀的。一些作者添加了 α 在X中的条件，这在实践中通常没有什麽区别，因为它通常是自动满足的。
对于固定的规则不可数基数 κ，Mahlo 运算会在 κ 的所有子集的布尔代数上以非平稳理想为模进行运算。
Mahlo 操作可以如下进行超限迭代：
M0 ( X ) = X
M α+1 ( X ) = M ( M α ( X ))
如果 α 是极限序数，则M α ( X ) 是M β ( X ) 的交集，因为 β
这些迭代的 Mahlo 操作产生 α-Mahlo 基数类，从强不可达基数类开始。
也可以通过定义对这个过程进行对角化
M Δ ( X ) 是在M β ( X ) 中对于 β
当然，这个对角化过程也可以迭代。对角化 Mahlo 运算产生超 Mahlo 基数，依此类推。
Mahlo 基数和反射原理
公理 F 是关于序数上的每个正规函数都有一个固定不动点的陈述。（这不是一阶公理，因为它量化了所有正规函数，因此可以将其视为二阶公理或公理方案。）如果基数上的每个正规函数都有一个正则，则称为 Mahlo不动点，所以公理 F 在某种意义上说所有序数的类是 Mahlo。基数 κ 是 Mahlo 当且仅当公理 F 的二阶形式在V κ中成立。公理 F 反过来等价于以下陈述：对于任何带参数的公式 φ，存在任意大的不可达的序数 α，使得V α反映 φ（换句话说，φ 在V α中成立）当且仅当它在整个宇宙中成立）
