Diamond principle
在数学中，特别是在公理集合论中，鑽石原理 ◊是由Ronald Jensen在Jensen (1972)中引入的组合原理，它适用于可构造宇宙( L ) 并暗示了连续统假设。Jensen 从他的可构造性公理( V = L ) 暗示苏斯林树的存在的证明中提取了鑽石原理。
定义
鑽石原理◊说存在一个◊-sequence，一组集合A α ⊆ α对于α ℵ 0，对于不包含共尾序数κ的静止S ， ◊ κ + ( S )从2 κ = κ +得出。
Shelah 表明，鑽石原则通过暗示每个Whitehead 组都是自由的，从而解决了Whitehead 问题。
Clubsuit
在数学中，尤其是在公理化集合论中，♣ S ( clubsuit ) 是一组组合原理，是对应的◊ S的弱版本；它是由 Adam Ostaszewski 于 1975 年推出的。
定义
对于给定的基数 κ 和一个固定集 S ⊆ κ , ♣ₛ是有一个序列的陈述 ⟨ A δ ： δ ∈ S ⟩ 这样
每个A δ是δ的共尾子集
对于每个无界子集 一个 ⊆ κ ，有一个 δ 以便 一个 δ ⊆ 一个
♣ ω₁ 通常写成 ♣.
♣ 和 ◊
◊ ⇒ ♣很明显，1975 年表明 ♣ + CH ⇒ ◊；然而，Saharon Shelah在 1980 年证明存在一个 ♣ 模型，其中 CH 不成立，所以 ♣ 和 ◊ 不等价（因为 ◊ ⇒ CH）。
平方原理
在数学集合论中，平方原理是一种组合原理，它断言存在短闭无界（俱乐部）集的连贯序列，因此没有一个（长）俱乐部集与它们全部连贯。因此，它们可以被视为一种不紧凑现象。它们是由Ronald Jensen在分析可构造宇宙 L的精细结构时引入的。
定义
将Sing定义为所有非正则极限序数的类。全局方表示有系统 ( C β ) β ∈ Sing 满足：
C β 是一个俱乐部集 β .
过 ( C β ) 1定义所谓的 gap- n morasses ，但它们非常複杂，以至于焦点通常仅限于 gap-1 的情况，除了特定的应用程序。“差距”本质上是所使用的“小近似值”的大小与最终结构的大小之间的主要差异。
不可数 规则基数 κ（也称为 a ( κ , 1 )-morass ）上的 (gap-1 ) 沼泽由高度为κ + 1 的树组成 ，顶层具有κ + -许多节点。节点被视为序数，函数π这些序数之间的关係与树顺序中的边相关联。需要将顶层节点的序数结构“构建”为映射 π 到该节点的分支中序数的直接限制，因此较低层节点可以被认为是（较大的) 顶级节点。强加一长串进一步的公理以使这种情况以一种特别“好”的方式发生。
变体和等价物
Velleman 以及Shelah和 Stanley 独立开发了与沼泽存在等效的强迫公理，以方便非专家使用。更进一步，Velleman 表明 morasses 的存在等同于简化的 morasses，它们是非常简单的结构。然而，在哥德尔的可 构造宇宙中，唯一已知的简化沼泽构造是通过沼泽构造，因此最初的概念仍然很有趣。
多年来，还出现了泥沼的其他变体，通常具有附加结构。这些包括普遍的沼泽，其中κ的每个子集都是通过沼泽的分支、红树林建立的，这些分支是分层的，每个分支都必须有一个节点的级别 ( mangals ) 和泥潭。
简化的沼泽
Velleman 定义了gap-1简化的morasses，它比gap-1 morasses简单得多，并表明gap-1 morasses的存在等同于gap-1简化morasses的存在。
粗略地说：a ( κ ,1)-简化的沼泽 M = 包含一个序列 φ → = 的序数使得 φ β 其中F α , β是从 φ α到 φ β的单调映射的集合，其中α 包含一个序列M → = of ( 其中F α , β是从M α到M β的映射集合，其中α < β ≤ κ在特定条件下。
Suslin 的问题
在数学中，Suslin 的问题是Mikhail Yakovlevich Suslin ( 1920 ) 提出并在死后发表的关于完全有序集合的问题。它已被证明独立于称为ZFC的集合论的标准公理系统：Solovay & Tennenbaum (1971)表明，假设 ZF 是一致的，则该陈述既不能被这些公理证明也不能被证明。
（苏斯林有时也用法语音译写成苏斯林，来自西里尔字母Суслин。）
Un ensemble ordonné (linéairement) sans sauts ni lacunes et tel que tout ensemble de ses intervalles (contenant plus qu'un élément) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus denumerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire) ?
一个（线性）有序集合是否没有跳跃或间隙，并且其间隔（包含多个元素）的每组不相互重叠最多是可数的，必然是（普通）线性连续统？
Suslin 问题的原始陈述来自 ( Suslin 1920 )
公式
Suslin 的问题是：给定一个具有四个属性的非空 全序集 R
R没有最小或最大元素；
R上的顺序是密集的（在任何两个不同的元素之间都有另一个）；
R上的顺序是完整的，因为每个非空有界子集都有一个上确界和一个下确界；和
R中相互不相交的非空开区间的每个集合都是可数的（这是 R 的有序拓扑的可数链条件），
R是否必然与实线R同构？
如果将可数链条件的要求替换为R包含可数稠密子集的要求（即R是可分离空间），那麽答案确实是肯定的：任何这样的集合R都必然与R同构（已证明康托尔）。
每个非空不相交开集的集合至多可数的拓扑空间的条件称为Suslin 属性。
影响
任何不与R同构但满足属性 1-4 的完全有序集合称为Suslin 线。Suslin假设说不存在 Suslin 线：每个可数链条件稠密完全线性阶无端点都与实线同构。一个等效的陈述是，每棵高度为 ω 1的树要么具有长度为 ω 1的分支，要么具有基数的反链 ℵ₁ .
广义的 Suslin 假设说，对于每个无限规则基数κ ，每棵高度为 κ 的树要么具有长度为 κ 的分支，要么具有基数为 κ 的反链。苏斯林线的存在等价于苏斯林树和苏斯林代数的存在。
Suslin 假设独立于 ZFC。Jech (1967)和Tennenbaum (1968)独立使用强制方法来构建存在 Suslin 线的 ZFC 模型。Jensen后来证明，如果假设鑽石原理是可构造公理V = L的结果，则存在 Suslin 线。（Jensen 的结果令人惊讶，因为之前推测V = L 意味着不存在 Suslin 线，因为 V = L 意味着存在“少数”集合。）另一方面，Solovay & Tennenbaum ( 1971)使用强制构造没有 Suslin 线的 ZFC 模型；更准确地说，他们表明马丁公理加上对连续统假设的否定意味着苏斯林假设。
Suslin 假设也独立于广义连续统假设（由Ronald Jensen证明）和对连续统假设的否定。不知道广义的 Suslin 假设是否与广义的连续统假设一致；然而，由于该组合意味着在奇异强极限基数处否定平方原则——事实上，在所有奇异基数和所有正则后继基数处——它意味着确定性公理在 L(R) 中成立，并且被认为意味着存在具有超强基数的内部模型.
0 #
在集合论的数学学科中，0 #（零尖，也叫0# ）是关于哥德尔可构造宇宙中不可分辨数和阶数不可分辨数的真公式集。它通常被编码为整数的子集（使用哥德尔编号），或作为遗传有限集的子集，或作为实数。它的存在在公理化集合论的标准形式ZFC中是无法证明的，但是从一个合适的大基数得出。公理。它首先在Silver 1966 年的论文中作为一组公式引入，后来以Silver (1971)的形式出版，用 Σ 表示，并被Solovay (1967 , p.52) 重新发现，他认为它是自然的子集数字并引入了符号 O #（大写字母 O；后来改为数字“0”）。
粗略地说，如果 0 #存在，则集合的全域V远大于可构造集的全域L，而如果不存在，则所有集合的全域都近似于可构造集。
定义
Silver 和Solovay将零锐定义如下。考虑集合论的语言，每个正整数都有额外的常数符号c 1 , c 2 , ...。那麽 0 #被定义为关于可构造宇宙的真句子的哥德尔数集，其中c i被解释为不可数基数 ℵ i。（这裡 ℵ i表示整个宇宙中的 ℵ i，而不是可构造的宇宙。）
如果在可构造宇宙L中有一个封闭的无界无界类，那麽 0 #是集合论的公式 θ 的哥德尔数的集合，使得
L ω ω ⊨ θ ( ω₁ , ω₂ , . . . ωₙ )
其中 ω₁ , ... ω ω是V中的“小”不可数初始序数，但具有与V = L相对于L一致的所有大基数属性。
这个定义有一个微妙之处：根据塔斯基的不可定义定理，一般来说，用集合论的语言来定义集合论公式的真实性是不可能的。为了解决这个问题，Silver 和 Solovay 假设存在一个合适的大基數，例如Ramsey基數，并表明通过这个额外的假设，可以定义关于可构造宇宙的陈述的真实性。更一般地说，0 #的定义是有效的，前提是对于某些L α存在不可数的不可分辨集合，并且短语“0 #存在”用作表达这一点的速记方式。
0 #的定义有几个微小的变化，这对其属性没有显着影响。哥德尔编号有很多不同的选择，0 #取决于这个选择。除了被视为自然数的子集，还可以将 0 #编码为语言公式的子集，或作为遗传有限集的子集，或作为实数。
暗示存在的陈述
Ramsey 基数存在暗示 0 #存在的条件可以被弱化。ω 1 - Erdős 基数的存在意味着 0 #的存在。这接近于最好的可能，因为 0 #的存在意味着在可构造的宇宙中，对于所有可数 α 都有一个 α-Erdős 基数，所以这样的基数不能用来证明 0 #的存在。
Chang的猜想暗示了0 #的存在。
等价于存在的陈述
Kunen 表明，当且仅当存在Gödel 可构造宇宙L到自身的非平凡基本嵌入时，0 #才存在。
Donald A. Martin和Leo Harrington已经证明 0 #的存在等同于lightface 分析博弈的确定性。事实上，通用光面分析游戏的策略与 0 #具有相同的图灵度。
根据Jensen 复盖定理，0 #的存在等价于 ω ω是可构造宇宙L中的正则基数。
西尔弗表明，在可构造宇宙中存在不可数的不可分辨集合等价于 0 #的存在。
存在与不存在的后果
它的存在意味着集合论宇宙V中的每个不可数 基数在L中都是不可区分的，并且满足在L中实现的所有大基数公理（例如完全不可言说）。由此可见，0 #的存在与可构造性公理相矛盾：V = L。
如果0 #存在，那麽它是一个不可构造的Δ的例子1
3整数集。这在某种意义上是不可构造集合的最简单的可能性，因为所有 Σ1/2和 Π1
2整数集是可构造的。
另一方面，如果 0 #不存在，则可构造宇宙L是核心模型——即近似于所考虑的宇宙大基数结构的规范内部模型。在这种情况下，Jensen 的复盖引理成立：
对于每个不可数集合 x的序数，都有一个可构造的 y使得 x ⊂ y和 y具有与 x 相同的基数。
这个深刻的结果要归功于Ronald Jensen。使用强制很容易看出x不可数的条件无法去除。例如，考虑Namba forcing，即保留 ω 1 并 ω 2 共尾序数 ω . 让 G ω -sequence cofinal on ω 2/L 和通用的L。那麽在L的L中没有集合小于 ω 2/L （在V中是不可数的，因为 ω₁被保存）可以复盖 G ， 自从 ω₂ 是一个普通的大基数。
其他
如果x是任何集合，则x #的定义类似于 0 #，只是使用 L[ x ] 而不是 L。请参阅可构造宇宙中的相对可构造性部分。
0 †，类似于 0 #的集合，其中可构造的宇宙被具有可测量基数的更大内部模型替换。
0 †
在集合论中，0 †是自然数的一个特定子集，由Robert M. Solovay在 1960 年代未发表的着作中首次定义。（上标 † 应该是dagger，但它在某些浏览器上显示为加号。）定义有点尴尬，因为可能没有满足条件的自然数集。具体来说，如果ZFC是一致的，则 ZFC +“0 †不存在”是一致的。ZFC + "0 †存在”不知道是不一致的（大多数集合论者认为它是一致的）。换句话说，它被认为是独立的（参见大基数的讨论）。它通常表述如下：
0 †存在 当且仅当存在一个非平凡的 基本嵌入 j ： L[U] → L[U]用于相对化的 哥德尔可构造宇宙 L[U]，其中 U是一个 超滤器，证明某些基数 κ 是 可测量的。
如果 0 †存在，那麽仔细分析L[U]的嵌入到其自身中会发现存在 κ 的封闭无界子集和大于 κ 的序数的封闭无界真类，它们一起对于结构是不可识别的 ( L , ∈ , ü ) , 并且 0 †被定义为关于L[U]中不可分辨的真公式的一组哥德尔数。
Solovay 证明了0 †的存在源于两个可测量的基数的存在。它传统上被认为是一个大基数公理，儘管它不是一个大基数，也不是一个基数。
Whitehead 猜想
在群论（抽象代数的一个分支）中，怀特海问题是以下问题：
每个Ext 1 ( A , Z ) = 0 的阿贝尔群 A是自由阿贝尔群吗？
Saharon Shelah证明了 Whitehead 问题与集合论的标准公理ZFC无关。
细化
假设A是一个阿贝尔群，使得每个短精确序列
0 → Z → B → A → 0
如果B也是阿贝尔，则必须分裂。怀特海问题接着问：A必须是自由的吗？这个分裂要求等价于条件 Ext 1 ( A , Z ) = 0。满足这个条件的阿贝尔群A有时被称为Whitehead 群，所以 Whitehead 的问题是：每个 Whitehead 群都是自由的吗？应该提到的是，如果通过要求确切的顺序来加强这个条件
0 → C → B → A → 0
必须分裂为任何阿贝尔群C，那麽众所周知，这等价于A是自由的。
注意：怀特海问题的逆，即每个自由阿贝尔群都是怀特海，是一个众所周知的群论事实。一些作者称怀特黑德群只是一个满足 Ext 1 ( A , Z ) = 0 的非自由群A。怀特海的问题接着问：怀特海群存在吗？
谢拉的证明
Saharon Shelah 表明，给定规范的ZFC公理系统，该问题独立于集合论的常用公理。更准确地说，他表明：
如果每个集合都是可构造的，那麽每个 Whitehead 群都是自由的；
如果马丁公理和连续统假设的否定都成立，则存在非自由怀特海群。
由于ZFC 的一致性意味着以下两者的一致性：
可构造公理（断言所有集合都是可构造的）；
马丁公理加上对连续统假设的否定，
在 ZFC 中无法解决 Whitehead 的问题。
讨论
JHC Whitehead受第二个表亲问题的启发，在 1950 年代首次提出该问题。Stein 对可数群的问题给出了肯定的回答。较大群体的进展缓慢，多年来，该问题被认为是代数中的一个重要问题。
Shelah的结果完全出乎意料。虽然自 1931 年哥德尔的不完备性定理以来就已经知道不可判定陈述的存在，但之前的不可判定陈述的例子（例如连续统假设）都存在于纯集合论中。Whitehead 问题是第一个被证明不可判定的纯代数问题。
Shelah 后来表明，即使假设连续统假设，怀特海问题仍然无法确定。如果所有集合都是可构造的，则怀特黑德猜想为真。关于不可数阿贝尔群的这个和其他陈述可证明独立于ZFC，这表明此类群的理论对假设的基本集合论非常敏感。
