Subtle基数
在数学中，Subtle基数和Ethereal基数是密切相关的大基数。
如果对于每个封闭且无界的C ⊂ κ和长度为κ的每个序列A ，其中元素数为δ（对于任意 δ），A δ ⊂ δ，存在属于C的α， β ，则基数κ被称为Subtle，与α < β，使得A α = A β ∩ α。
如果对于每个闭合且无界的C ⊂ κ和长度为κ的每个序列A ，其中元素数为δ（对于任意 δ），A δ ⊂ δ和A δ具有与δ相同的基数 ，则基数κ被称为以太存在α , β , 属于C , α < β , 使得 card( α ) = card( A β ∩ A α )。
Jensen & Kunen (1969)介绍了Subtle基数。Ketonen (1974)介绍了Ethereal基数。任何Subtle基数都是Ethereal，任何不可达的Ethereal基数都是Subtle。
定理
当且仅当基数κ的每个传递集S都包含x和y使得x是y的真子集且x ≠ Ø 且x ≠ {Ø}时，存在一个Subtle基数 ≤ κ 。一个无限序数κ是Subtle当且仅当对于每个λ < κ ，每个基数κ的传递集S都包含一个阶类型λ的链（包含下）
Ineffable基数
在超限数的数学中，Ineffable基数是某种大基数，由Jensen & Kunen (1969)提出。在以下定义中， κ 将永远是一个常规的 不可数 基数。
一个基数 κ 如果对于每个 F ： κ → P ( κ ) （在哪裡 P ( κ ) 是幂集 κ ) 具有以下属性 F ( δ ) 是的一个子集 δ对于所有序数 δ < κ , 有一个子集 S 的 κ 有基数 κ 和同质的 F ，在某种意义上，对于任何 δ 1 < δ 2 在 S , F ( δ 1 ) = F ( δ 2 ) ∩ δ 1 .
一个基数 κ 如果对于每个二进制值函数，则称为Ineffable F ： [ κ ]² → { 0 , 1 } , 有一个固定子集 κ 在哪个 F 是同质的：也就是说，要么 F 将从该子集中提取的所有无序元素对映射为零，或者它将所有此类无序对映射为一。一个等效的公式是基数 κ 如果对于每个序列 ⟨A α : α ∈ κ⟩使得每个A α ⊆ α，存在A ⊆ κ使得{ α ∈ κ : A ∩ α = A α }在κ中是静止的，则是Ineffable。
更普遍， κ 叫做 n -Ineffable（对于一个正整数 n ) 如果对于每个 F ： [ κ ] n → { 0 , 1 }有一个固定子集 κ 在哪个 F 是 n -同质的（对所有无序的取相同的值 n-从子集中提取的元组）。因此，它是Ineffable当且仅当它是 2-Ineffable。
一个完全Ineffable基数是一个红衣主教 n - 每个人都无法言喻 2 ≤ n < ℵ₀ . 如果 κ 是 ( n + 1 ) - Ineffable，那麽集合 n- Ineffable基数 κ 是一个固定子集 κ .
每个n - Ineffable的基数都是n - 几乎不可言喻的（在它之下的n -Ineffable的集合是静止的），并且每个n -Ineffable都是n -Subtle（在它之下的n -Subtle的集合是静止的）。最小的n -Subtle基数甚至不是弱紧凑的（并且与Ineffable基数不同，最小的n -Ineffable是 Π 2 1 -describable)，但是n -Ineffable基数在每个n -Subtle基数之下是静止的。
如果有一个非空的，一个基数 κ 是完全Ineffable R ⊆ 磷P( κ ) 这样
- 每个 A ∈ R 是静止
的 - 对于每个 一个 ∈ R 和 F ： [ κ ] 2 → { 0 , 1 } ， 有 B ⊆ A f的齐次 B ∈ R .
使用任何有限的n > 1 代替 2 将导致相同的定义，因此完全Ineffable基数是完全Ineffable（并且具有更大的一致性强度）。完全ineffable红衣主教是 Π n 1 -对于每个n都ineffable，但完全Ineffable属性是 Δ 1/2 .
完全Ineffable一致性强度低于 1-iterable 基数，后者又低于显着基数 ，而显着基数又低于ω-Erdős基数。此处提供了按一致性强度列出的大基本公理列表。
Remarkable基数
在数学中，Remarkable基数是某种大基数。
如果对于所有正则基数θ > κ存在π、M、λ、σ、N和ρ，则基数 κ被称为显着
π : M → H θ是一个基本的嵌入
M是可数和传递的
π ( λ ) = κ
σ : M → N是具有临界点 λ的基本嵌入
N是可数和传递的
ρ = M ∩ Ord是N中的正则基数
σ ( λ ) > ρ
M = H ρ N，即M ∈ N和N ⊨ “ M 是所有遗传上小于 ρ 的集合的集合”
等效地， κ 当且仅当对于每个 λ > κ 有 λ¯ < κ 这样在某些强制扩展中 V [ G ] ，有一个基本的嵌入 j ： V λ/V → V λ/V 令人满意的 j ( crit ( j ) ) = κ . 虽然定义类似于超紧基数的定义之一，但这裡的基本嵌入只需要存在于 V [ G ] ，不在 V.
Erdős基数
在数学中，Erdős 基数，也称为分区基数，是Paul Erdős和András Hajnal ( 1958 )引入的某种大基数。
Erdős 基数κ ( α )被定义为最小基数，使得对于每个函数f : κ < ω → {0, 1}，有一组阶类型α对于f是齐次的（如果存在这样的基数）。在划分演算的符号中，Erdős 基数κ ( α )是最小的基数，使得
κ ( α ) → ( α ) < ω
零尖的存在意味着可构造宇宙 L满足“对于每个可数序数 α，都有一个α -Erdős 基数”。事实上，对于每个不可分辨的 κ，L κ满足“对于每个序数α ，在Coll( ω , α )中有一个α -Erdős 基数（Levy 坍缩以使α可数）”。
然而，ω 1 -Erdős 基数的存在意味着零锐角的存在。如果f是L的满足关係（使用序数参数），则零尖的存在等价于存在关于f的ω 1 -Erdős 序数。反过来，零尖意味着库尔特·哥德尔的可构造性公理的错误。
如果 κ 是α -Erdős，那麽它在每个满足“ α可数”的传递模型中都是α -Erdős。
可迭代的基数
在数学中，可迭代基数是 Gitman ( 2011 ) 和 Sharpe 和 Welch ( 2011 )引入的一种大基数，并由 Gitman 和 Welch ( 2011 ) 进一步研究。如果κ的每个子集都包含在弱κ -模型M中，则Sharpe和 Welch 将基数κ定义为可迭代的，对于该模型 M，在κ上存在一个M -超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman 给出了一个更好的概念，其中一个基数κ如果仅需要长度为α的超幂次迭代，则定义为α可迭代的。（根据标准论点，iterability 等价于ω 1 -iterability。）
Ramsey基数
在数学中，Ramsey 基数是Erdős & Hajnal (1962)引入的一种大基数，以Frank P. Ramsey命名，其定理确立了ω具有 Ramsey 基数推广到不可数情况的特定性质。
令 [ κ ]
f : [ κ ]
有一个基数κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数。如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为ineffably Ramsey。如果对于每个函数，基数κ实际上称为Ramsey
f : [ κ ]
有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 Ramsey的概念，其中对于每个λ < κ ， f的齐次集都需要阶类型λ。
这些 Ramsey 基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖。
每个可测量的红衣主教都是 Ramsey 基数，每个 Ramsey 基数都是Rowbottom基数。
介于 Ramseyness 和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数
f : [ κ ]
有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是齐次的。这比κ是不可言喻的 Ramsey 严格地强。
Ramsey 基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt Gödel的可构造性公理的错误。
