阿贝尔群
在数学中，阿贝尔群，也称为交换群，是对两个群元素应用群运算的结果不依赖于它们的书写顺序的群。也就是说，群运算是可交换的。以加法运算，整数和实数形成阿贝尔群，阿贝尔群的概念可以看作是这些例子的推广。阿贝尔群以 19 世纪早期的数学家Niels Henrik Abel命名。
阿贝尔群的概念是许多基本代数结构的基础，例如场、环、向量空间和代数。阿贝尔群的理论通常比它们的非阿贝尔群更简单，并且有限阿贝尔群被很好地理解和完全分类。
定义
阿贝尔群是一个集合 A , 连同一个操作 ⋅结合任意两个元素 a 和 b 的 A 形成另一个元素 A , 表示 a ⋅ b . 符号 ⋅ 是具体给定操作的通用佔位符。为了有资格成为一个阿贝尔群，集合和运算， ( A , ⋅ ) ，必须满足称为阿贝尔群公理的四个要求（一些作者在公理中包含一些属于操作定义的属性：即操作是为A的任何有序元素对定义的，结果是defined，并且结果属于A）：
关联性
对所有人 a, b ， 和 c 在 A , 方程 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )持有。
标识元素
存在一个元素 e 在 A , 这样对于所有元素 a 在 A, 方程 e ⋅ a = a ⋅ e = a 持有。
逆元
对于每个 a在 A 存在一个元素 b 在 A 这样 a ⋅ b = b ⋅ a = e ， 在哪裡 e 是标识元素。
交换性
对所有人 a , b 在 A , a ⋅ b = b ⋅ a .
群运算不可交换的群称为“非阿贝尔群”或“非交换群”。
事实
符号
阿贝尔群有两种主要的符号约定——加法和乘法。
加法:x+y=0=nx=-x
乘法:x·y或者xy=1=xⁿ=x^-1
一般来说，乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模和环的常用符号。加法符号也可以用来强调一个特定的群是阿贝尔群，只要同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群，一些值得注意的例外是近环群和部分有序群，即使在非阿贝尔群中，运算也是加法编写的.
乘法表
为了验证一个有限群是阿贝尔的，可以用类似于乘法表的方式构造一个表（矩阵）——称为凯莱表。如果组是 G = { g₁ = e , g₂ , … , gₙ } 在操作下 ⋅ , _ ( i , j ) -此表的第一项包含产品 gᵢ ⋅ gⱼ .
当且仅当该表关于主对角线对称时，该群是阿贝尔群。这是真的，因为该群是阿贝尔iff gᵢ ⋅ gⱼ = gⱼ ⋅ gᵢ 对所有人 i , j = 1 , . . . , n ，即当且仅当 ( i , j ) 表项等于 ( j , i ) 所有人都可以进入 i , j = 1 , . . . , n ，即表格关于主对角线对称。
例子
对于整数和运算加法 + , 表示 ( Z , + ) , 运算 + 将任意两个整数组合成第三个整数, 加法是结合的, 零是加法恆等式, 每个整数 n 有一个加法逆， - n , 加法运算是可交换的，因为 n + m = m + n 对于任意两个整数 m 和 n .
每个循环群 G 是阿贝尔的，因为如果 x , y在 G ， 然后 xy = aᵐaⁿ = a^m+n = aⁿaᵐ = yx . 因此整数, Z ，在加法下形成一个阿贝尔群，整数模也是如此 n , Z / n Z .
就其加法运算而言，每个环都是一个阿贝尔群。在交换环中，可逆元素或单位形成一个阿贝尔乘法群。特别是，实数是加法下的阿贝尔群，非零实数是乘法下的阿贝尔群。
阿贝尔群的每个子群都是正规的，所以每个子群都产生一个商群。阿贝尔群的子群、商和直和又是阿贝尔群。有限简单阿贝尔群正是素数 阶的循环群。
阿贝尔群的概念和 Z -模块同意。更具体地说，每个 Z -module 是一个带有加法运算的阿贝尔群，每个阿贝尔群都是整数环上的一个模 Z 以独特的方式。
一般来说，矩阵，即使是可逆矩阵，在乘法下都不会形成阿贝尔群，因为矩阵乘法通常是不可交换的。然而，一些矩阵组是矩阵乘法下的阿贝尔组——一个例子是 2 × 2 旋转矩阵。
历史评论
Camille Jordan以挪威 数学家 Niels Henrik Abel的名字命名了阿贝尔群，因为 Abel 发现多项式的群的交换性意味着多项式的根可以用根式计算。
特性
如果 n是一个自然数并且 X 是一个阿贝尔群的元素 G 加法写，那麽 n X 可以定义为 X + X + ⋯ + X( n 要求）和 ( - n ) X = - ( n X ) . 这样， G成为环上的一个模块 Z 整数。事实上，模块超过 Z 可以用阿贝尔群来识别。
关于阿贝尔群的定理（即主理想域上的模块） Z ) 通常可以推广到关于任意主理想域上的模块的定理。一个典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类，它是在主理想域上有限生成模块的结构定理的一种特殊化。在有限生成的阿贝尔群的情况下，这个定理保证一个阿贝尔群分裂为一个扭转群和一个自由阿贝尔群的直接和。前者可以写成以下形式的有限多个群的直接和 Z / pᵏ Z 为了 p 素数，后者是有限多个副本的直接和 Z .
如果 f , g ： G → H 是两个阿贝尔群之间的群同态，那麽它们的和 f + g ， 被定义为 ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , 又是同态。（如果 H 是一个非阿贝尔群。） Hom ( G , H ) 所有群同态的 G 至 H 因此，它本身就是一个阿贝尔群。
有点类似于向量空间的维数，每个阿贝尔群都有一个秩。它被定义为组的一组线性独立（在整数上）元素的最大基数。[6] : 49-50 个有限阿贝尔群和扭力群都有零阶，每一个零阶的阿贝尔群都是一个扭力群。整数和有理数的秩为 1，以及有理数的每个非零加法子群。另一方面，非零有理数的乘法群具有无限秩，因为它是一个自由阿贝尔群，其集合为素数作为基础（这是算术基本定理的结果）。
中心_ Z ( G ) 一组的 G 是与 G . 一组 G 是阿贝尔当且仅当它等于它的中心 Z ( G ) . 一群人的中心 G 总是一个特徵阿贝尔子群 G . 如果商群 G / Z ( G ) 一个群的中心是循环的，那麽 G是阿贝尔。
有限阿贝尔群
整数的循环群模 n , Z / n Z ，是组的第一个例子。事实证明，任意有限阿贝尔群同构于素幂阶有限循环群的直接和，并且这些阶是唯一确定的，形成一个完整的不变量系统。一个有限阿贝尔群的自同构群可以直接用这些不变量来描述。该理论最初是在Georg Frobenius和Ludwig Stickelberger 1879 年的论文中发展起来的，后来被简化和推广到主理想域上的有限生成模块，形成了线性代数的重要章节。
任何素数阶群同构于循环群，因此是阿贝尔群。任何阶数为素数平方的群也是阿贝尔群。事实上，对于每个素数 p （直到同构）正好有两组顺序 p² ，即 Z p² 和 Zₚ × Zₚ .
分类
有限阿贝尔群的基本定理指出每个有限阿贝尔群 G 可以表示为素数次幂阶循环子群的直接和；它也被称为有限阿贝尔群的基本定理。此外，循环群的自同构群是阿贝尔群的例子。这由有限生成阿贝尔群的基本定理推广，当G具有零秩时，有限群是特例；这反过来又承认了许多进一步的概括。
Leopold Kronecker在 1870 年证明了这种分类，儘管直到后来才用现代群论术语来说明，并且在 1801 年Carl Friedrich Gauss对二次型进行了类似的分类之前；详情见历史。
循环群 Z ₘₙ 有秩序的 m n 同构于的直接和 Zₘ 和 Zₙ 当且仅当 米 和 n 是互质的。任何有限阿贝尔群 G 同构于形式的直接和
u ⨁ i = 1/Zₖᵢ
採用以下任一规范方式：
号码 k₁ , k₂ , … , kᵢ 是（不一定是不同的）素数的幂，
或者 k₁ 划分 k₂ , 这除 k₃ ，依此类推，直到 kᵢ .
例如， Z₁₅ 可以表示为两个 3 阶和 5 阶循环子群的直接和： Z₁₅ ≅ { 0 , 5 , 10 } ⊕ { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 }. 对于任何 15 阶的阿贝尔群都可以这样说，从而得出一个显着的结论，即所有 15 阶的阿贝尔群都是同构的。
再举一个例子，每个 8 阶阿贝尔群都同构于 Z₈ （加法模 8 下的整数 0 到 7）， Z₄ ⊕ Z₂ （乘以 16 下的奇数 1 到 15），或 Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ .
另请参见30 阶或更小的有限阿贝尔群的小组列表。
自同构
可以应用基本定理来计算（有时确定）给定有限阿贝尔群的自同构 G . 要做到这一点，一个人使用的事实是，如果 G 拆分为直接总和 H ⊕ K 互质阶的子群，那麽
Aut ( H ⊕ K ) ≅ Aut ( H ) ⊕ Aut ( K ) .
鑑于此，基本定理表明，计算自同构群 G 计算Sylow的自同构群就足够了 p - 单独的子群（即所有循环子群的直接和，每个子群的阶次方为 p ）。修復一个素数 p 并假设指数 eᵢ Sylow 的循环因子 p -子组按升序排列：
e₁ ≤ e₂ ≤ ⋯ ≤ eₙ
对于一些 n > 0 . 需要找到的自同构
Z p^e 1 ⊕ ⋯ ⊕ Z p^e n .
一种特殊情况是当 n = 1 , 所以 Sylow 中只有一个循环素数功率因数 p -子群 P . 在这种情况下，可以使用有限循环群的自同构理论。另一个特殊情况是当 n是任意的，但是 eᵢ = 1为了 1 ≤ i ≤ n. 在这裡，一个正在考虑 P 成为形式
Zₚ ⊕ ⋯ ⊕ Zₚ ,
所以这个子群的元素可以看作是一个维向量空间 n 在有限域上 p 元素 Fₚ . 这个子群的自同构因此由可逆线性变换给出，所以
Aut ( P ) ≅ G L ( n , Fₚ ) ,
在哪裡 GL 是适当的一般线性群。这很容易证明有秩序
| Aut ( P ) | = ( pⁿ - 1 ) ⋯ ( pⁿ - p^n - 1 ) .
在最一般的情况下，其中 eᵢ 和 n 是任意的，自同构群更难确定。然而，众所周知，如果定义
dₖ = max { r ∣ eᵣ = eₖ }
和
cₖ = min { r ∣ eᵣ = eₖ }
然后一个人特别 k ≤ dₖ , cₖ ≤ k ， 和
| Aut ( P ) | = ∏ k = 1 n ( p d k − p k − 1 ) ∏ j = 1 n ( p e j ) n − d j ∏ i = 1 n ( p e i − 1 ) n − c i + 1 .
可以检查这是否产生了前面示例中的订单作为特殊情况（参见 Hillar, C. 和 Rhea, D.）。
有限生成的阿贝尔群
一个阿贝尔群A是有限生成的，如果它包含有限的元素集（称为生成器） G = { x₁ , … , xₙ } 使得该组的每个元素都是与G的元素的整数係数的线性组合。
设L是一个有基的自由阿贝尔群 B = { b₁ , … , bₙ } . 存在唯一的群同态 p ： L → A , 这样
p ( bᵢ ) = xᵢ for i = 1 , … , n .
这个同态是满射的，它的核是有限生成的（因为整数形成了一个诺特环）。考虑具有整数条目的矩阵M，使得其第j列的条目是内核的第j个生成器的係数。则，阿贝尔群同构于由M定义的线性映射的内核。相反，每个整数矩阵都定义了一个有限生成的阿贝尔群。
由此可见，对有限生成阿贝尔群的研究与对整数矩阵的研究是完全等价的。具体来说，改变A的生成集等价于左边的M乘以一个单模矩阵（即可逆整数矩阵，其逆也是整数矩阵）。改变M的核的生成集相当于将右边的M乘以一个单模矩阵。
M的Smith 范式是一个矩阵
S = UMV ,
其中U和V是单模的，S是一个矩阵，使得所有非对角元素都为零，非零对角元素 d₁ , ₁ , … , dₖ , ₖ 是第一个，并且 dⱼ , ⱼ 是一个除数 dᵢ , ᵢ 对于i > j。史密斯法线的存在性和形状证明了有限生成的阿贝尔群A是直和
Zʳ ⊕ Z / d₁ , ₁Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / dₖ , ₖZ ,
其中r是r底部的零行数（也是组的排名）。这是有限生成阿贝尔群的基本定理。
Smith范式算法的存在表明，有限生成阿贝尔群基本定理不仅是一个抽象存在定理，而且提供了一种将有限生成阿贝尔群表示为直和的计算方法。
无限阿贝尔群
最简单的无限阿贝尔群是无限循环群 Z . 任何有限生成的阿贝尔群 A 同构于的直接和 r 的副本 Z 和一个有限阿贝尔群，它又可以分解为有限多个素数幂阶循环群的直接和。即使分解不是唯一的，数字 r ，称为秩 A ，并且给出有限循环和的阶的素数是唯一确定的。
相比之下，一般无限生成的阿贝尔群的分类远未完成。可分群，即阿贝尔群 A 其中方程 n x = a 承认解决方案 X ∈ A 对于任何自然数 n 和元素 a 的 A , 构成了可以完全表徵的一类重要的无限阿贝尔群。每个可整除群都同构于一个直和，而被加数同构于 Q 和Prüfer 组 Qₚ / Zₚ 对于各种素数 p ，并且每种类型的加法集合的基数是唯一确定的。此外，如果一个可分群 A是一个阿贝尔群的子群 G 然后 A 承认直接补语：子群 C 的 G 这样 G = A ⊕ C . 因此，可整群是阿贝尔群范畴中的单射模，相反，每个单射阿贝尔群都是可整的（贝尔准则）。没有非零可分子群的阿贝尔群称为约简。
具有截然相反性质的无限阿贝尔群的两个重要特殊类别是扭转群和无扭转群，以群为例 Q / Z （定期）和 Q （无扭转）。
扭力组
如果每个元素都具有有限阶，则阿贝尔群称为周期群或扭转群。有限循环群的直接和是周期性的。虽然相反的陈述一般不正确，但一些特殊情况是已知的。第一个和第二个Prüfer 定理表明，如果 A 是一个週期群，它要么有一个有界指数，即 nA = 0 对于某个自然数 n , or 是可数的并且 p -元素的高度 A 每个都是有限的 p ， 然后 A 同构于有限循环群的直接和。同构的直接和集的基数 Z / pᵐ Z 在这样的分解中是一个不变量 A . 这些定理后来被纳入库利科夫准则。在不同的方向上，Helmut Ulm发现了第二个 Prüfer 定理到可数阿贝尔定理的扩展 p - 具有无限高元素的群：这些群通过它们的Ulm 不变量完全分类。
无扭转和混合组
如果每个非零元素都具有无限阶，则阿贝尔群称为无扭群。已经广泛研究了几类无扭阿贝尔群：
自由阿贝尔群，即任意直接和 Z
Cotorsion和代数紧緻无扭群，例如 p -adic 整数
细长组
既不是周期也不是无扭的阿贝尔群称为混合。如果 A 是一个阿贝尔群并且 T ( A ) 是它的扭转子群，那麽因子群 A / T ( A ) 是无扭转的。然而，一般来说，扭转子群不是A， 所以 A 不同构于 T ( A ) ⊕ A / T ( A ) . 因此，混合群的理论不仅仅是简单地将周期群和无扭群的结果结合起来。添加剂组 Z 整数是无扭转的 Z -模块。
不变量和分类
无限阿贝尔群的最基本不变量之一 A 是它的秩：最大线性独立子集的基数 A . 0 阶阿贝尔群恰好是周期群，而1 阶无扭阿贝尔群必然是 Q 并且可以完全描述。更一般地，有限秩的无扭阿贝尔群 r 是一个子群 Qᵣ . 另一方面，该组 p -adic 整数 Zₚ是无限的无扭阿贝尔群 Z -rank 和组 Z p/n与不同 n是非同构的，所以这个不变量甚至不能完全捕捉一些熟悉的组的属性。
上面解释的有限生成、可整除、可数週期和 1 阶无扭阿贝尔群的分类定理都是在 1950 年之前获得的，并且构成了更一般的无限阿贝尔群分类的基础。用于无限阿贝尔群分类的重要技术工具是纯子群和基本子群。引入无扭阿贝尔群的各种不变量是进一步发展的途径之一。请参阅Irving Kaplansky、László Fuchs、Phillip Griffith和David Arnold的着作，以及发表在数学讲义中的阿贝尔群论会议记录了解更多最新发现。
环的加成组
环的加法群是阿贝尔群，但并非所有阿贝尔群都是环的加法群（具有非平凡乘法）。该研究领域的一些重要主题是：
张量积
ALS Corner 在可数无扭转组上的结果
Shelah 消除基数限制的工作
伯恩赛德环
与其他数学主题的关係
许多大的阿贝尔群具有自然拓扑，这将它们变成了拓扑群。
所有阿贝尔群的集合，连同它们之间的同态，形成范畴 Ab ，一个阿贝尔范畴的原型。
Wanda Szmielew ( 1955 ) 证明了阿贝尔群的一阶理论与其对应的非阿贝尔群不同，是可判定的。布尔代数以外的大多数代数结构都是不可判定的。
目前仍有许多研究领域：
在有限秩的无扭阿贝尔群中，只有有限生成的情况和秩为1的情况是很好理解的；
无限秩无扭阿贝尔群理论中有许多未解决的问题；
虽然可数扭转阿贝尔群通过简单的表示和 Ulm 不变量很好地理解，但可数混合群的情况还不够成熟。
众所周知，阿贝尔群的一阶理论的许多温和扩展是不可判定的。
有限阿贝尔群仍然是计算群论的研究课题。
此外，令人惊讶的是，无限阶阿贝尔群引出了关于集合论的深层次问题，这些问题通常被认为是所有数学的基础。以怀特海问题为例：所有无限阶怀特海群也是自由阿贝尔群吗？在 1970 年代，Saharon Shelah证明了怀特黑德问题是：
在 ZFC（Zermelo-Fraenkel 公理）中不可判定，这是一种传统的公理集合理论，几乎所有的现代数学都可以从中推导出来。Whitehead 问题也是普通数学中第一个在 ZFC 中证明不可判定的问题；
即使通过将广义连续统假设作为公理来增强ZFC ，也无法确定；
如果 ZFC 增加了可构造性公理，则得到肯定回答（请参见L 中的陈述）。
排版註意事项
在源自数学家专有名称的数学形容词中，“ abelian ”这个词很少见，因为它通常用小写a拼写，而不是大写A亚伯的名字已经被制度化了，而且他引入的概念在现代数学中无处不在。
