基数
在数学中，基数，或简称基数，是用于衡量集合的基数（大小）的自然数的概括。有限集合的基数是一个自然数：集合中元素的数量。超限基数，通常用希伯来符号表示ℵ后跟一个下标，描述无限集的大小。
基数是根据双射函数定义的。两个集合具有相同的基数当且仅当两个集合的元素之间存在一一对应（双射）。在有限集的情况下，这与直观的大小概念一致。在无限集的情况下，行为更加複杂。Georg Cantor的一个基本定理表明，无限集可能具有不同的基数，特别是实数集的基数大于自然数集的基数。对于适当的子集也是可能的一个无限集具有与原始集相同的基数——这在有限集的真子集上是不可能发生的。
有一个基数的超限序列：
0,1,2,3…,n,...;ℵ₀,ℵ₁,ℵ₂,...,ℵα,...
这个序列以包括零的自然数（有限基数）开始，然后是aleph 数（良序集的无限基数）。aleph 数字由序数索引。在选择公理的假设下，这个超限序列包括每个基数。如果一个人拒绝该公理，情况会更加複杂，会有更多的不是 alephs 的无限基数。
基数作为集合论的一部分被研究。它也是数学分支中使用的工具，包括模型论、组合学、抽象代数和数学分析。在范畴论中，基数构成了集合范畴的骨架。
历史
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正如现在所理解的，基数的概念是由集合论的创始人Georg Cantor在 1874-1884 年提出的。基数可以用来比较有限集的一个方面。例如，集合 {1,2,3} 和 {4,5,6} 不相等，但具有相同的基数，即三。这是通过两个集合之间存在双射（即一一对应）来建立的，例如对应关係{1→4, 2→5, 3→6}。
康托尔将他的双射概念应用于无限集[1]（例如自然数集N = {0, 1, 2, 3, ...}）。因此，他称所有具有N 可数（可数无限）集的双射集，它们都共享相同的基数。这个基数被称为ℵ0, aleph-null。他把无限集的基数称为超限基数。
康托尔证明了 N 的任何无界子集都具有与N相同的基数，儘管这似乎与直觉相反。他还证明了所有有序自然数对的集合是可数的；这意味着所有有理数的集合也是可数的，因为每个有理数都可以用一对整数表示。他后来证明了所有实代数数的集合也是可数的。每个实代数数z可以编码为整数的有限序列，它们是多项式方程中的係数，它是它的解，即有序的 n 元组 ( a 0 ,a 1 , ..., a n ), a i ∈ Z和一对有理数 ( b 0 , b 1 ) 使得z是具有係数的多项式的唯一根 ( a 0 , a 1 , ... , a n ) 位于区间 ( b 0 , b 1 ) 中。
在他 1874 年的论文《论所有实代数数集合的性质》中，康托尔证明了存在高阶基数，证明实数集的基数大于N的基数。他的证明使用了具有嵌套间隔的论证，但在 1891 年的一篇论文中，他使用他巧妙且简单得多的对角论证证明了相同的结果。实数集的新基数称为连续统的基数，康托尔使用符号C为了它。
康托尔还发展了基数的一般理论的很大一部分。他证明了有一个最小的超限基数ℵ₀并且对于每个基数都有一个下一个更大的基数
（ℵ₀,ℵ₁,ℵ₂…）
他的连续统假设是基数的命题C的实数集与ℵ₁ . 这个假设独立于数学集合论的标准公理，也就是说，它既不能被证明也不能被它们证伪。这在 1963 年由Paul Cohen展示，补充了Kurt Gödel在 1940 年的早期工作。
动机
在非正式使用中，基数是通常称为计数的数字，前提是包含 0：0、1、2、...。它们可以用以 0开头的自然数来识别。计数是正是可以正式定义为有限基数的东西。无限基数只出现在高级数学和逻辑中。
更正式地说，非零数可以用于两个目的：描述集合的大小，或描述元素在序列中的位置。对于有限集和序列，很容易看出这两个概念是一致的，因为对于描述序列中位置的每个数字，我们都可以构造一个具有完全正确大小的集合。例如，3描述了'c'在序列中的位置，我们可以构造集合{a,b,c}，它有3个元素。
但是，在处理无限集时，必须区分两者，因为对于无限集，这两个概念实际上是不同的。考虑位置方面会导致序数，而大小方面则由此处描述的基数概括。
基数形式定义背后的直觉是构建一个集合的相对大小或“大”的概念，而不涉及它所拥有的成员类型。对于有限集，这很容易；一个简单地计算一个集合的元素数量。为了比较更大集合的大小，有必要诉诸更精细的概念。
如果存在从X的元素到Y的元素的单射映射，则集合Y至少与集合X一样大。单射映射用集合Y的唯一元素标识集合X的每个元素。举个例子最容易理解这一点；假设我们有集合X = {1,2,3} 和Y = {a,b,c,d}，然后使用这个大小的概念，我们会观察到有一个映射：
1 → 一个
2 → b
3 → c
这是单射的，因此得出结论Y具有大于或等于X的基数。元素 d 没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只需要一个单射映射，而不一定是单射和到映射。这个概念的优点是它可以扩展到无限集。
然后我们可以将其扩展到等式关係。如果X和Y之间存在双射，则称两个集合 X和Y具有相同的基数。根据Schroeder-Bernstein 定理，这等效于同时存在从X到Y的单射映射和从Y到X的单射映射。然后我们写| X | = | 是|。X本身的基数通常被定义为最小序数a与 | 一个| = | X |。[2]这称为冯诺依曼基数分配；为了使这个定义有意义，必须证明每个集合与某个序数具有相同的基数；这个陈述就是良序原则。然而，可以讨论集合的相对基数，而无需明确地为对象分配名称。
使用的经典例子是无限酒店悖论，也称为希尔伯特大酒店悖论。假设在一家旅馆裡有一个旅馆老闆，旅馆的房间数量是无限的。酒店客满了，又来了一位新客人。可以通过让在房间 1 的客人搬到房间 2，让在房间 2 的客人搬到房间 3 等等来容纳额外的客人，让房间 1 空置。我们可以显式地写出这个映射的一段：
1 → 2
2 → 3
3 → 4
...
n → n + 1
...
通过这个赋值，我们可以看到集合 {1,2,3,...} 与集合 {2,3,4,...} 具有相同的基数，因为第一个和第二个之间的双射具有已显示。这激发了无限集的定义，即任何具有相同基数的真子集的集合（即，Dedekind-infinite 集）；在这种情况下，{2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。
在考虑这些大对象时，人们可能还想看看计数顺序的概念是否与上面为这些无限集定义的基数一致。碰巧它没有；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果某个对象“大于无穷大”存在，那麽它必须具有与我们开始的无限集相同的基数。基于依次计算和考虑每个数字的想法，可以对数字使用不同的正式概念，称为序数，我们发现一旦我们离开有限数，基数和序数的概念就会发散。
可以证明实数的基数大于刚才描述的自然数的基数。这可以使用康托尔的对角线参数来可视化；基数的经典问题（例如连续统假设）涉及发现在一对其他无限基数之间是否存在某个基数。最近，数学家一直在描述越来越大的红衣主教的性质。
由于基数在数学中是如此常见的概念，因此使用了各种名称。基数相同有时被称为等势、等价或等数。因此，可以说具有相同基数的两个集合分别是等位的、等位的或等数的。
正式定义
形式上，假设选择公理 ，集合X的基数是最小序数α，使得X和 α 之间存在双射。这个定义被称为冯诺依曼基数分配。如果不假设选择公理，则需要不同的方法。集合X的基数的最古老定义（在 Cantor 中是隐式的，在 Frege 和Principia Mathematica中是显式的）是与X等量的所有集合的类 [ X ] 。这在ZFC或公理集合论的其他相关係统中不起作用，因为如果X非空，此集合太大而不能成为集合。事实上，对于X≠∅，通过将集合m映射到{m}×X，存在从宇宙到 [ X ] 的注入，因此根据大小限制公理， [ X ] 是一个适当的类。然而，该定义在类型论以及新基础和相关係统中确实有效。但是，如果我们将此类限制为与X具有最小rank的等量类，那麽它将起作用（这是由于Dana Scott的一个技巧：[3]它之所以有效，是因为具有任何给定等级的对象的集合是一个集合）。
冯诺依曼基数赋值意味着有限集的基数是该集合所有可能的良序的公共序数，然后基数和序数算术（加法、乘法、幂、适当减法）给出相同的有限答案数字。但是，它们对于无限数是不同的。例如，2^ω=ωℵ₀=ℵ2/0在基数算术中，虽然冯诺依曼赋值 ℵ₀=ω. 另一方面，斯科特的把戏暗示基数 0 是 { ∅ }，这也是序数 1，这可能会造成混淆。一种可能的折衷方案（利用有限算术中的对齐，同时避免依赖选择公理和无限算术中的混淆）是将冯诺依曼分配应用于有限集的基数（那些可以有序且不等位到真子集）并使用 Scott 的技巧来处理其他集合的基数。
形式上，基数之间的顺序定义如下：X | ≤ | 是| 表示存在从X到Y的单射函数。康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出，如果 | X | ≤ | 是| 和 | 是| ≤ | X | 那麽 | X | = | 是|。选择公理等价于给定两个集合X和Y的陈述，无论是 | X | ≤ | 是| 或 | 是| ≤ | X |。[4] [5]
集合X是Dedekind-infinite如果存在X的真子集 Y且 | X | = | Y |，如果这样的子集不存在，则为Dedekind 有限。有限基数只是自然数，在这个意义上，集合X是有限的当且仅当 | X | = | n | = n对于某个自然数n。任何其他集合都是无限的。
假设选择公理，可以证明戴德金概念对应于标准概念。也可以证明基数 ℵ₀（aleph null或 aleph-0，其中 aleph 是希伯来字母表中的第一个字母，表示 ℵ 的自然数集是最小的无限基数（即，任何无限集都有基数的子集ℵ₀ 。下一个较大的基数表示为ℵ₁， 等等。对于每个序数α，都有一个基数 ℵα , 这个列表用尽了所有无限的基数。
基数算术
我们可以在基数上定义算术运算，以概括自然数的普通运算。可以证明，对于有限基数，这些运算与自然数的通常运算是一致的。此外，这些操作与普通算术有许多共同的性质。
Successor基数
如果选择公理成立，那麽每个基数 κ 都有一个后继者，记为 κ +，其中 κ + > κ 并且在 κ 和它的后继者之间没有基数。（在没有选择公理的情况下，使用Hartogs 定理，可以证明对于任何基数 κ，都有一个最小基数 κ+使得κ+≰κ. 对于有限基数，后继是简单的 κ + 1。对于无限基数，后继基数不同于后继序数。
基数加法
如果X和Y不相交，则加法由X和Y的并集给出。如果这两个集合还不是不相交的，那麽它们可以被相同基数的不相交集合替换（例如，用 X ×{0} 替换X，用Y × { 1 } 替换 Y）。
| X | + | Y | = | X ∪ Y | .
零是加性恆等式κ + 0 = 0 + κ = κ。
加法是关联的( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν )。
加法是可交换的 κ + μ = μ + κ。
两个参数中的加法不减少：
( κ ≤ μ ) → ( ( κ + ν ≤ μ + ν ) and ( ν + κ ≤ ν + μ ) ) .
假设选择公理，无限基数的加法很容易。如果κ或μ是无限的，则
κ + μ = max { κ , μ } .
减法
假设选择公理，并且给定一个无限基数σ和一个基数μ，存在一个基数κ使得μ + κ = σ当且仅当μ ≤ σ。当且仅当μ | X | 对于任何集合X。这证明不存在最大的基数（因为对于任何基数κ，我们总能找到更大的基数 2 κ）。事实上， cardinals类是一个适当的类。（这个证明在一些固定理论中失败了，尤其是新基础。）
本节中所有剩馀的命题都假设了选择公理：
如果 κ和 μ都是有限的且大于 1，并且 ν是无限的，则 κ ν = μ ν。
如果 κ是无限的并且 μ是有限且非零的，则 κ μ = κ。
如果 2 ≤ κ和 1 ≤ μ并且其中至少一个是无限的，则：
最大 ( κ , 2 μ ) ≤ κ μ ≤ 最大 (2 κ , 2 μ )。
使用König 定理，可以证明任何无限基数κ的κ < κ cf( κ )和κ < cf(2 κ ) ，其中 cf( κ ) 是 κ 的共尾性。
根
假设选择公理，并且给定一个无限基数κ和一个大于 0的有限基数μ ，基数ν满足 ν^μ = κ 将会 κ
对数
假设选择公理，并且给定一个无限基数κ和一个大于 1的有限基数μ ，可能有也可能没有一个基数λ满足 μ^λ = κ. 但是，如果存在这样的基数，它是无限的并且小于κ ，并且任何大于 1 的有限基数ν也将满足 ν^λ = κ.
无限基数κ的对数定义为最小基数μ使得κ ≤ 2 μ。无限基数的对数在某些数学领域很有用，例如在研究拓扑空间的基数不变量时，儘管它们缺少正实数的对数所具有的一些性质。
连续统假设
连续统假设(CH) 指出之间没有严格的基数 ℵ₀和 2^ℵ₀ .后一个基数也经常表示为 C ; 它是连续统的基数（实数集）。在这种情况下 2^ℵ₀ = ℵ₁ .
类似地，广义连续统假设(GCH) 指出，对于每个无限基数 κ, 之间没有严格的基数 κ 和 2^κ. 连续统假设和广义连续统假设都被证明独立于集合论的常用公理、策梅洛-弗兰克尔公理和选择公理 ( ZFC )。
事实上，伊斯顿定理表明，对于常规基数 κ , ZFC 对基数的唯一限制 2^κ 那是 κ < cf( 2^κ ) ，并且指数函数是非递减的。
公理系统
在数学和逻辑中，公理系统是任何一组公理，从这些公理中可以结合使用一些或所有公理以在逻辑上推导出定理。理论是一致的、相对独立的知识体系，通常包含一个公理系统及其所有派生定理。完全描述的公理系统是一种特殊的形式系统。形式理论是一个公理系统（通常在模型理论中製定），它描述了一组在逻辑暗示下封闭的句子。形式证明是形式系统中数学证明的完整再现。
特性
如果一个公理系统没有矛盾，则称它是一致的。也就是说，不可能从系统的公理中同时导出陈述及其否定。一致性是大多数公理系统的关键要求，因为矛盾的存在将允许证明任何陈述（爆炸原理）。
在公理系统中，如果一个公理不能被系统中的其他公理证明或证伪，则它被称为独立公理。如果一个系统的每个基本公理都是独立的，则该系统称为独立系统。与一致性不同，独立性并不是一个正常运行的公理系统的必要要求——儘管它通常被寻求以最小化系统中公理的数量。
如果对于每个陈述，无论是它自己还是它的否定都可以从系统的公理推导出来（等效地，每个陈述都能够被证明为真或假），则称一个公理系统是完整的。
相对一致性
除了一致性之外，相对一致性也是一个有价值的公理系统的标誌。这描述了第一个公理系统的未定义项从第二个公理系统提供定义的场景，这样第一个公理系统的公理就是第二个公理系统的定理。
一个很好的例子是绝对几何相对于实数係统理论的相对一致性。线和点在绝对几何中是未定义的术语（也称为原始概念），但在实数理论中以与两个公理系统一致的方式分配了含义。
模型
公理系统的模型是一个定义良好的集合，它以与系统中定义的关係正确的方式为系统中呈现的未定义术语分配含义。具体模型的存在证明了系统的一致性。如果指定的含义是来自现实世界的对象和关係，则模型称为具体模型，而不是基于其他公理系统的抽像模型。
模型也可以用来显示系统中公理的独立性。通过为没有特定公理的子系统构建有效模型，我们证明如果省略的公理的正确性不一定来自子系统，则它是独立的。
如果可以在它们的元素之间找到一对一的对应关係，则可以说两个模型是同构的，以保持它们的关係的方式。每个模型都与另一个模型同构的公理系统称为分类（有时是分类）。范畴性（categoricity）的性质保证了系统的完整性，但反过来则不成立：完整性并不能保证系统的范畴性（categoricity），因为两个模型在性质上可能不同，而这些性质无法用系统的语义来表达。系统。
例子
例如，观察以下公理系统，它基于一阶逻辑，并添加了以下可数无限多个公理的附加语义（这些公理可以很容易地形式化为公理模式）：
∃ x₁ ： ∃ x ₂ ： ¬ ( x ₁ = x ₂ ) （非正式地，存在两个不同的项目）。
∃ x ₁ ： ∃ x ₂ ： ∃ x ₃ ： ¬ ( x ₁ = x ₂ ) ∧ ¬ ( x ₁ = x ₃ ) ∧ ¬ ( x ₂ = x ₃ ) （非正式地，存在三个不同的项目）。
. . .
非正式地，这组无限的公理表明有无限多的不同项目。然而，无限集合的概念不能在系统内定义——更不用说诸如集合的基数了。
该系统至少有两种不同的模型——一种是自然数（与任何其他可数无限集同构），另一种是实数（与具有连续统基数的任何其他集同构）。事实上，它有无限数量的模型，一个用于无限集的每个基数。然而，区分这些模型的属性是它们的基数——无法在系统内定义的属性。因此，该系统不是分类的。然而它可以被证明是完整的。
公理化方法
以某种方式陈述定义和命题，使得每个新术语都可以被先前引入的术语正式消除，这需要原始概念（公理）以避免无限回归。这种做数学的方法称为公理方法。
对公理化方法的普遍态度是逻辑主义。在他们的《数学原理》一书中，阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德和伯特兰·罗素试图证明所有的数学理论都可以简化为一些公理的集合。更一般地说，将一组命题简化为一组特定的公理是数学家研究计划的基础。这在二十世纪的数学中非常突出，特别是在基于同调代数的学科中。
对理论中使用的特定公理的解释有助于阐明数学家想要使用的适当抽象级别。例如，数学家选择环不必是可交换的，这与Emmy Noether的原始公式不同。数学家们决定更普遍地考虑拓扑空间，而不考虑费利克斯·豪斯多夫最初提出的分离公理。
Zermelo-Fraenkel集合论是应用于集合论的公理化方法的结果，它允许“正确”地表述集合论问题并帮助避免朴素集合论的悖论。一个这样的问题是连续统假设。Zermelo-Fraenkel 集合论，包括历史上备受争议的选择公理，通常缩写为ZFC，其中“C”代表“选择”。许多作者使用ZF来指代 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理，而排除了选择公理。[5]今天 ZFC 是公理化集合论的标准形式，因此是最常见的数学基础.
历史
数学方法在古埃及、巴比伦、印度和中国发展到一定程度，显然没有採用公理化方法。
亚历山大的欧几里得撰写了现存最早的欧几里得几何和数论的公理化表述。19 世纪发展了许多公理系统，包括非欧几里得几何、实分析的基础、康托尔的集合论、弗雷格的基础工作，以及希尔伯特将公理方法作为研究工具的“新”用途. 例如，群论在那个世纪末首次被建立在公理化的基础上。一旦公理被澄清（反元素应该是必需的，例如），受试者可以自主进行，而无需参考这些研究的转化组起源。
问题
并非每一个一致的命题体都可以被可描述的公理集合捕获。在递归理论中，如果计算机程序可以识别语言中的给定命题是否是定理，则公理的集合称为递归。哥德尔第一不完备定理然后告诉我们，存在某些一致的命题体，没有递归公理化。通常，计算机可以识别推导定理的公理和逻辑规则，并且计算机可以识别证明是否有效，但要确定一个陈述是否存在证明，只能通过“等待”证明或反证来解决生成。结果是人们将不知道哪些命题是定理并且公理化方法失效。这种命题的一个例子是自然数理论，它只是被皮亚诺公理部分公理化（如下所述）。
在实践中，并不是每个证明都可以追溯到公理。有时，甚至不清楚证明适用于哪一组公理。例如，一个数论陈述可能可以用算术语言（即皮亚诺公理的语言）来表达，并且可能会给出一个诉诸拓扑学或複分析的证明。是否可以找到另一个仅源自皮亚诺公理的证明可能不是立即清楚的。
任何或多或少任意选择的公理系统都是一些数学理论的基础，但这样的任意公理系统不一定没有矛盾，即使有，也不太可能阐明任何事情。数学哲学家有时断言数学家“任意”选择公理，但有可能儘管仅从演绎逻辑规范的角度来看它们似乎是任意的，但这种现象可能是由于对演绎目的的限制。逻辑服务。
示例：自然数的 Peano 公理化
自然数0, 1, 2, 3, 4, ... 的数学系统基于数学家朱塞佩·皮亚诺 ( Giuseppe Peano ) 于 1889 年首次设计的公理系统。他选择了公理，使用单个一元函数符号S （“后继者”的缩写），自然数集为：
有一个自然数0。
每个自然数a都有一个后继，用Sa表示。
没有后继为0的自然数。
不同的自然数有不同的后继：如果a ≠ b，则Sa ≠ Sb。
如果一个属性被 0 以及它所拥有的每个自然数的后继者所拥有，那麽它被所有自然数所拥有（“归纳公理”）。
公理化
在数学中，公理化是获取知识体係并向其公理倒退的过程。它是一个陈述系统的公式化（即公理），这些陈述与许多原始术语相关——以便可以从这些陈述中演绎出一致的命题体。此后，任何命题的证明原则上都应该追溯到这些公理。
