数学哲学
数学哲学是研究数学的假设、基础和含义的哲学分支。旨在了解数学的本质和方法，找出数学在人们生活中的地位。数学本身的逻辑和结构性质使这项研究在其哲学同行中既广泛又独特。
数学哲学有两大主题：数学实在论和数学反实在论。
历史
数学的起源受到争论和分歧的影响。数学的诞生是随机发生的，还是在物理学等其他学科的发展过程中必然引起的，仍然是一个争论不休的问题。
许多思想家都贡献了他们关于数学本质的观点。今天，一些数学哲学家的目标是对这种形式的探究及其产品进行说明，而其他人则强调他们自己的角色，超越了简单的解释到批判性分析。西方哲学和东方哲学都有数理哲学的传统。西方的数学哲学可以追溯到毕达哥拉斯，他描述了“一切都是数学”（mathematicism）理论，柏拉图解释了毕达哥拉斯，研究了本体论的地位数学对象和亚里士多德，他研究了与无穷大（实际与潜在）相关的逻辑和问题。
希腊数学哲学深受他们对几何学的影响。例如，有一次，希腊人认为 1（一）不是一个数字，而是一个任意长度的单位。一个数字被定义为众多。因此，例如，3 代表一定数量的单位，因此不是“真正的”数字。在另一点上，有人提出了类似的论点，即 2 不是一个数字，而是一对的基本概念。这些观点来自希腊人的几何直尺和指南针的观点：就像几何问题中绘製的线与第一条任意绘製的线成比例一样，数轴上的数字也是按比例测量的到任意的第一个“数字”或“一”。
这些早期的希腊数字观念后来被二的平方根的非理性发现所颠复。毕达哥拉斯的弟子希帕索斯证明了单位正方形的对角线与其（单位长度）边不可通约：换句话说，他证明了不存在准确描述单位对角线比例的现有（有理）数正方形到它的边缘。这引起了对希腊数学哲学的重大重新评估。相传，毕达哥拉斯同胞因这一发现而深受打击，以至于他们谋杀了希帕索斯以阻止他传播他的异端思想。 西蒙·史蒂文是欧洲最早在 16 世纪挑战希腊思想的人之一。从莱布尼茨开始，焦点强烈地转移到数学和逻辑之间的关係上。这种观点在弗雷格和罗素时代主导了数学哲学，但在 19 世纪末和 20 世纪初的发展中受到质疑。
毕达哥拉斯被认为是数学和几何之父，因为他为欧几里得和 欧几里得几何奠定了基础 。毕达哥拉斯是 毕达哥拉斯主义的创始人：一种绘製宇宙图的数学和哲学模型
当代哲学
数学哲学中一个长期存在的问题涉及逻辑与数学在其共同基础上的关係。虽然 20 世纪的哲学家继续提出本文开头提到的问题，但 20 世纪的数学哲学的特点是对形式逻辑、集合论（朴素集合论和公理集合论）和基础问题。
这是一个深刻的难题，一方面数学真理似乎具有令人信服的必然性，但另一方面，它们的“真实性”的来源仍然难以捉摸。对这个问题的调查被称为数学课程的基础。
在 20 世纪初，数学哲学家已经开始针对所有这些问题划分出不同的思想流派，并以他们对数学认识论和本体论的描述进行了广泛的区分。此时出现了形式主义、直觉主义和逻辑主义这三个学派，部分是为了应对日益普遍的担忧，即现有的数学，特别是分析，没有达到确定性和严谨性的标准这被认为是理所当然的。每所学校都解决了当时出现的问题，要么试图解决这些问题，要么声称数学无权享有其作为我们最值得信赖的知识的地位。
20 世纪初，形式逻辑和集合论的惊人和违反直觉的发展导致了关于传统上所谓的数学基础的新问题。随着世纪的展开，最初关注的焦点扩大到对数学基本公理的公开探索，自公元前 300 年左右欧几里得时代以来，公理化方法已被视为理所当然，是数学的自然基础。公理、命题和证明的概念，以及命题对一个数学对象为真的概念（见赋值），都被形式化了，允许用数学方法处理它们。策梅罗-弗兰克尔集合论的公理被制定出来，它提供了一个概念框架，可以在其中解释许多数学论述。在数学中，就像在物理学中一样，出现了新的和意想不到的想法，并且正在发生重大变化。使用哥德尔编号，命题可以被解释为指代自己或其他命题，从而能够探究数学理论的一致性。这种反思性的批评使所审查的理论“成为数学研究的对象”，这导致希尔伯特将这种研究称为元数学或证明理论。
世纪中叶，塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克莱恩创立了一种新的数学理论，称为范畴论，它成为数学思维自然语言的新竞争者。然而，随着 20 世纪的发展，关于本世纪初提出的关于基础的问题究竟有多麽有根据，哲学观点出现了分歧。希拉里·普特南 ( Hilary Putnam ) 总结了本世纪最后三分之一的情况的一种普遍看法，他说：
当哲学发现科学有问题时，有时必须改变科学——我想到了罗素的悖论，就像伯克利对实际无穷小的攻击一样——但更多时候是哲学必须改变。我不认为哲学在今天的经典数学中发现的困难是真正的困难。而且我认为我们所提供的各种数学哲学解释都是错误的，而“哲学解释”正是数学所不需要的。
今天的数学哲学沿着几条不同的探究路线前进，由数学哲学家、逻辑学家和数学家进行，并且有许多关于这个主题的思想流派。下一节将分别讨论这些学校，并解释它们的假设。
主要主题
数学实在论
数学实在论与一般实在论一样，认为数学实体独立于人类思维而存在。因此，人类并没有发明数学，而是发现了它，宇宙中的任何其他智能生物大概也会这样做。从这个角度来看，确实存在一种可以发现的数学；例如，三角形是真实的实体，而不是人类思维的创造。
许多在职数学家都是数学实在论者。他们认为自己是自然存在的物体的发现者。例子包括Paul Erdős和Kurt Gödel。哥德尔相信客观的数学现实可以以类似于感觉的方式被感知。某些原理（例如，对于任何两个对象，存在恰好由这两个对象组成的对象集合）可以直接被认为是正确的，但是仅基于这些原理，连续统假设猜想可能证明是不可判定的。哥德尔建议可以使用准经验方法来提供足够的证据来合理地假设这样的猜想。
在现实主义中，根据数学实体的存在类型以及我们对它们的了解方式，存在差异。数学实在论的主要形式包括柏拉图主义和亚里士多德主义。
数学反实在论
数学反实在论通常认为数学陈述具有真值，但它们并不通过对应于非物质或非经验实体的特殊领域来做到这一点。数学反实在论的主要形式包括形式主义和虚构主义。
当代思想流派
艺术的
声称数学是假设的美学组合，然后又声称数学是一门艺术的观点。一位着名的数学家自称是英国的GH Hardy。对于哈代来说，在他的《数学家的道歉》一书中，数学的定义更像是概念的美学组合。
柏拉图主义
数学柏拉图主义是现实主义的一种形式，它表明数学实体是抽象的，没有时空或因果属性，并且是永恆不变的。这通常被认为是大多数人对数字的看法。之所以使用柏拉图主义一词，是因为这种观点与柏拉图的形式理论和柏拉图的洞穴寓言中描述的“思想世界”（希腊语：eidos (εἶδος)）相似：日常世界只能不完美地近似于一个不变的，终极的现实。柏拉图的洞穴和柏拉图主义都具有意义，而不仅仅是肤浅的联繫，因为柏拉图的思想早于并且可能受到广受欢迎的毕达哥拉斯学派的影响古希腊人认为，从字面上看，世界是由数字产生的。
数学柏拉图主义考虑的一个主要问题是：数学实体究竟在哪里以及如何存在，以及我们如何知道它们？有没有一个与我们的物理世界完全分离的世界被数学实体佔据？我们如何才能进入这个独立的世界并发现有关实体的真相？一个提出的答案是Ultimate Ensemble，一种假设数学上存在的所有结构也物理上存在于它们自己的宇宙中的理论。
Kurt Gödel的柏拉图主义[8]假设了一种特殊的数学直觉，它可以让我们直接感知数学对象。（这种观点与胡塞尔关于数学的许多观点相似，并支持康德关于数学是先验综合 的观点。）戴维斯和赫什在他们 1999 年出版的《数学经验》一书中提出，大多数数学家表现得好像他们是柏拉图主义者，甚至但是，如果迫于压力谨慎地捍卫立场，他们可能会退回到形式主义。数学家亚历山大·格洛腾迪克也是柏拉图主义者。
纯正的柏拉图主义是柏拉图主义的现代变体，它是对以下事实的反应：根据所採用的公理和推理规则（例如，排中定律和选择公理）。它认为所有数学实体都存在。它们可能是可证明的，即使它们不能全部从一组一致的公理推导出来。
集合论实在论（也称为集合论柏拉图主义）是佩内洛普·马迪（ Penelope Maddy ）所捍卫的立场，认为集合论是关于集合的单一宇宙的观点。这一立场（也被称为自然化柏拉图主义，因为它是数学柏拉图主义的自然化版本）已被马克·巴拉格尔（Mark Balaguer）基于保罗·贝纳塞拉夫（ Paul Benacerraf）的认识论问题进行了批评。类似的观点，被称为柏拉图化的自然主义，后来被斯坦福-埃德蒙顿学派捍卫：根据这种观点，一种更传统的柏拉图主义与自然主义是一致的；他们所捍卫的更为传统的柏拉图主义以断言抽像对象存在的一般原则而着称。
数学主义
Max Tegmark的数学宇宙假设（或数学主义）比柏拉图主义走得更远，断言不仅所有数学对像都存在，而且其他一切都不存在。Tegmark 的唯一假设是：所有数学上存在的结构也物理上存在。也就是说，从某种意义上说，“在那些複杂到足以包含自我意识子结构的[世界]中，[他们]将主观地认为自己存在于物理上的'真实'世界中”。
逻辑主义
逻辑主义是这样一种论点，即数学可以还原为逻辑，因此只是逻辑的一部分。逻辑学家认为数学可以是先验的，但认为我们的数学知识只是我们一般逻辑知识的一部分，因此是分析的，不需要任何特殊的数学直觉能力。在这种观点中，逻辑是数学的正确基础，所有的数学陈述都是必然的逻辑真理。
Rudolf Carnap (1931) 将逻辑主义论文分为两部分：
数学的概念可以通过明确的定义从逻辑概念推导出来。
数学定理可以通过纯逻辑演绎从逻辑公理推导出来。
Gottlob Frege是逻辑主义的创始人。在他开创性的Die Grundgesetze der Arithmetik（算术基本定律）中，他从一个具有一般理解原理的逻辑系统建立了算术，他称之为“基本定律 V”（对于概念F和G，F的扩展等于G的扩展当且仅当对于所有对象a , Fa等于Ga )，他认为这是逻辑的一部分是可以接受的原则。
弗雷格的结构有缺陷。伯特兰·罗素发现基本法 V 是不一致的（这是罗素悖论）。此后不久，弗雷格就放弃了他的逻辑主义程序，但由罗素和怀特黑德继续。他们将这个悖论归因于“恶性循环”，并建立了他们所谓的分支类型理论来处理它。在这个系统中，他们最终能够以一种经过改变的、过于復杂的形式构建现代数学的大部分内容（例如，每种类型都有不同的自然数，并且有无限多种类型）。为了发展大部分数学，他们还不得不做出一些妥协，例如“可约性公理””。连罗素都说这个公理并不真正属于逻辑。
现代逻辑学家（如Bob Hale、Crispin Wright和其他人）已经回到了更接近 Frege 的程序。他们放弃了《基本法》V，转而採用诸如休谟原则（F概念下的对像数等于G概念下的对像数当且仅当F的外延和G的外延可以进行一一对应）。弗雷格要求基本法 V 能够对数字给出明确的定义，但数字的所有属性都可以从休谟原理推导出来。这对弗雷格来说是不够的，因为（套用他的话）它不排除数字 3 实际上是凯撒大帝的可能性。此外，他们为取代《基本法》V而不得不採用的许多被削弱的原则似乎不再那麽明显是分析性的，因此不再是纯粹合乎逻辑的。
形式主义
形式主义认为数学陈述可以被认为是关于某些字符串操作规则的结果的陈述。例如，在欧几里得几何的“游戏”中（被视为由一些称为“公理”的字符串和一些从给定字符串生成新字符串的“推理规则”组成），可以证明勾股定理成立（即可以生成对应勾股定理的字符串）。根据形式主义，数学真理与数字、集合、三角形等无关——事实上，它们根本不是“关于”任何东西的。
形式主义的另一种版本通常被称为演绎主义。在演绎主义中，勾股定理不是一个绝对的真理，而是一个相对的：如果一个人以这样一种方式为字符串分配意义，使得游戏规则成为真的（即，真正的陈述被分配给公理和规则推理是保真的），那麽人们必须接受这个定理，或者更确切地说，一个人给出的解释必须是一个真实的陈述。对于所有其他数学陈述，同样如此。因此，形式主义不一定意味着数学只不过是一种无意义的符号游戏。通常希望存在某种符合游戏规则的解释。（将此立场与结构主义相比较.) 但它确实允许正在工作的数学家继续他或她的工作，并将这些问题留给哲学家或科学家。许多形式主义者会说，在实践中，要研究的公理系统将由科学或其他数学领域的需求提出。
形式主义的主要早期支持者是大卫希尔伯特，他的计划旨在成为所有数学的完整且一致的公理化。希尔伯特旨在从“有限算术”（正整数的通常算术的子系统，选择在哲学上无争议）是一致的假设中展示数学系统的一致性。希尔伯特创建一个既完整又一致的数学系统的目标被哥德尔的第二个不完备定理严重破坏，它指出足够表达的一致公理系统永远无法证明自己的一致性。由于任何这样的公理系统都会包含作为子系统的有限算术，哥德尔定理暗示不可能证明系统相对于该公理的一致性（因为它会证明它自己的一致性，而哥德尔已经证明这是不可能的）。因此，为了证明任何公理化的数学系统实际上是一致的，首先需要假设一个数学系统的一致性，该系统在某种意义上比要被证明一致的系统更强。
希尔伯特最初是一个演绎主义者，但是，从上面可以清楚地看出，他认为某些元数学方法可以产生本质上有意义的结果，并且是一个关于有限算术的现实主义者。后来，他认为无论解释如何，都没有其他有意义的数学。
其他形式主义者，如鲁道夫卡尔纳普、阿尔弗雷德塔斯基和哈斯凯尔库裡，认为数学是对形式公理系统的研究。数理逻辑学家研究形式系统，但他们既是形式主义者，也经常是实在论者。
形式主义者对新的逻辑方法、非标准数係、新集合论等相对宽容和有吸引力。我们研究的游戏越多越好。然而，在所有这三个例子中，动机都来自现有的数学或哲学问题。“游戏”通常不是任意的。
对形式主义的主要批评是，佔据数学家的实际数学思想与上面提到的字符串操作游戏相去甚远。因此，形式主义对应该研究哪些公理系统的问题保持沉默，因为从形式主义的角度来看，没有一个比另一个更有意义。
最近，一些形式主义数学家提出，我们所有的形式数学知识都应该以计算机可读的格式系统地编码，以便于数学证明的自动证明检查和交互式定理证明在数学理论和计算机软件的开发中的使用。由于它们与计算机科学的密切联繫，这个想法也被“可计算性”传统中的数学直觉主义者和建构主义者所倡导——请参阅QED 项目以获得一般概述。
传统主义
法国数学家 亨利·庞加莱是最早表达传统观点的人之一。庞加莱在他的微分方程工作中使用非欧几里得几何使他确信欧几里得几何不应该被视为先验真理。他认为，几何公理的选择应该是因为它们产生的结果，而不是它们与人类对物理世界的直觉的明显一致性。
直觉主义
在数学中，直觉主义是一种方法论改革计划，其座右铭是“没有未经经验的数学真理”（LEJ Brouwer）。从这个跳板出发，直觉主义者试图根据康德的存在、生成、直觉和知识的概念来重建他们认为是数学中可纠正的部分。该运动的创始人布劳威尔认为，数学对象来自于意志的先验形式，这些意志为经验对象的感知提供了信息。
直觉主义背后的主要力量是LEJ Brouwer，他拒绝任何形式的形式化逻辑对数学的有用性。他的学生Arend Heyting假设了一种直觉逻辑，不同于经典的亚里士多德逻辑。这种逻辑不包含排中律，因此不贊成反证法。大多数直觉主义集合论也拒绝选择公理，儘管在某些版本中它被接受。
在直觉主义中，“显式构造”一词没有明确定义，这导致了批评。已经尝试使用图灵机或可计算函数的概念来填补这一空白，导致声称只有与有限算法的行为有关的问题才有意义并且应该在数学中进行研究。这导致了对可计算数字的研究，首先由艾伦图灵介绍。因此，这种数学方法有时与理论计算机科学联繫在一起也就不足为奇了。
建构主义
与直觉主义一样，建构主义也包含这样一种调节性原则，即只有在某种意义上可以明确构建的数学实体才应被允许进入数学话语。在这种观点看来，数学是人类直觉的一种锻炼，而不是用无意义的符号玩的游戏。相反，它是关于我们可以通过心理活动直接创造的实体。此外，这些学派的一些追随者拒绝非建设性证明，例如在证明对象的存在或试图确定某个命题的真实性时使用反证法。Errett Bishop做了重要的工作，他在 1967 年成功地证明了实分析中最重要定理的版本作为建设性分析建设性分析的基础。
有限主义
有限主义是建构主义的一种极端形式，根据这种形式，数学对像不存在，除非它可以在有限的步骤中从自然数构造出来。在她的《集合论哲学》一书中，玛丽·泰尔斯将那些允许可数无限对象的人描述为经典有限论者，将那些甚至否认可数无限对象的人描述为严格有限论者。
有限主义最着名的支持者是Leopold Kronecker ，他说：
上帝创造了自然数，其他一切都是人的工作。
超有限主义是有限主义的一个更加极端的版本，它不仅拒绝无穷大，而且拒绝用可用资源无法构建的有限数量。有限主义的另一种变体是欧几里得算术，这是由约翰·佩恩·梅伯里 ( John Penn Mayberry ) 在他的着作《集合论中的数学基础》中开发的一个系统。 Mayberry 的系统在总体上是亚里士多德式的，儘管他强烈反对运筹学或可行性在数学基础中的任何作用，但得出的结论有些相似，例如，超幂运算不是合法的有限运算功能。
结构主义
结构主义是这样一种立场，即数学理论描述结构，并且数学对像被它们在这种结构中的位置详尽地定义，因此没有内在属性。例如，它会坚持认为关于数字 1 的所有需要知道的是它是 0 之后的第一个整数。同样，所有其他整数都是由它们在结构中的位置定义的，即数轴。数学对象的其他示例可能包括几何中的线和平面，或抽象代数中的元素和运算。
结构主义是一种认识论上的 现实主义观点，它认为数学陈述具有客观的真值。然而，它的核心主张只涉及数学对像是什麽类型的实体，而不涉及数学对像或结构具有什麽样的存在（换句话说，不涉及它们的本体）。数学对象的存在类型显然取决于它们所嵌入的结构。在这方面，结构主义的不同子变体提出了不同的本体论主张。
ante rem结构主义（ “在事物之前”）与柏拉图主义有相似的本体论。结构被认为具有真实但抽象和非物质的存在。因此，它面临着解释这些抽象结构与有血有肉的数学家之间相互作用的标准认识论问题（参见Benacerraf 的识别问题）。
in restructuralism （ “ in the thing”）相当于亚里士多德的实在论。结构被认为是存在的，因为某些具体的系统是它们的例证。这会引发一些常见问题，即某些完全合法的结构可能会意外地不存在，并且有限的物理世界可能不够“大”以容纳一些原本合法的结构。
后物物结构主义（ “事后”）是关于结构的反实在论者，其方式与唯名论相似。与唯名论一样，后 rem方法否认抽像数学对象的存在，这些对象的属性与它们在关係结构中的位置不同。根据这种观点，数学系统是存在的，并且具有共同的结构特徵。如果某件事对一个结构是正确的，那麽它对所有举例说明该结构的系统都是正确的。然而，谈论结构在系统之间“共有”只是一种工具：它们实际上并不独立存在。
具身心智理论
具身心智理论认为，数学思维是人类认知装置的自然产物，人类认知装置存在于我们的物理宇宙中。例如，数字的抽象概念源于对离散对象进行计数的经验（需要人类感官，例如视觉来检测对象、触摸；以及来自大脑的信号）。人们认为数学不是普遍的，除了在人脑中之外，不存在任何真正意义上的数学。人类构建但不发现数学。
模式发现和区分对象的认知过程也受制于神经科学；如果数学被认为与自然世界相关（例如来自现实主义或其一定程度，而不是纯粹的唯我论）。
它与现实的实际相关性，虽然被认为是一个值得信赖的近似值（也有人认为，感知、身体和感官的进化可能是生存所必需的），但不一定准确到完全的现实主义（并且仍然受制于缺陷，例如错觉、假设（因此；人类形成数学的基础和公理）、概括、欺骗和幻觉）。因此，这也可能对现代科学方法与普通数学的兼容性提出质疑；虽然相对可靠，但仍然受到经验主义衡量的限制这可能不像以前假设的那样可靠（另请参见：科学中的“反直觉”概念，例如量子非定域性和远距离作用）。
另一个问题是一个数字系统可能不一定适用于解决问题。複数或虚数等主题需要对更常用的数学公理进行特定更改）；否则无法充分理解。
或者，计算机程序员可以使用十六进製作为二进制编码值的“人类友好”表示，而不是十进制（便于计数，因为人类有十根手指）。数学背后的公理或逻辑规则也随着时间而变化（例如零的适应和发明）。
由于人类大脑的感知在一般情况下容易受到幻觉、假设、欺骗、（诱导的）幻觉、认知错误或假设的影响，因此可以质疑它们是否准确或严格地表明了真理（另见：存在哲学） ，以及经验主义本身与宇宙的关係，以及它是否独立于感官和宇宙。
人类的头脑对现实或建立在数学基础上的方法没有特别的要求。如果像欧拉恆等这样的结构是真的，那麽它们作为人类思想和认知的地图也是真的。
具身心智理论家因此解释了数学的有效性——数学是由大脑构建的，以便在这个宇宙中有效。
对这种观点最容易理解、最着名和最臭名昭着的处理是George Lakoff和Rafael E. Núñez的数学从何而来。此外，数学家Keith Devlin用他的书The Math Instinct研究了类似的概念，神经科学家Stanislas Dehaene也用他的书The Number Sense研究了类似的概念。有关启发这一观点的哲学思想的更多信息，请参阅数学认知科学。
亚里士多德现实主义
亚里士多德现实主义认为，数学研究可以在物理世界（或任何其他可能存在的世界）中实现的属性，例如对称性、连续性和秩序。它与柏拉图主义相反，认为数学对象，例如数字，不存在于“抽象”世界中，而是可以物理实现。例如，数字 4 是在鹦鹉堆和将堆分成这麽多鹦鹉的普遍“成为鹦鹉”之间的关係中实现的。亚里士多德实在论在数学哲学上受到詹姆斯·富兰克林和悉尼学派的捍卫，接近佩内洛普·麦迪的观点当一个鸡蛋盒打开时，会感知到一组三个鸡蛋（即在物理世界中实现的数学实体）。[25]亚里士多德现实主义的一个问题是如何解释更高的无限，这在物理世界中可能无法实现。
John Penn Mayberry在他的着作《集合论中的数学基础》中提出的欧几里得算术也属于亚里士多德的实在论传统。梅伯里追随欧几里得，认为数字只是自然界中实现的“确定的众多单位”——例如“伦敦交响乐团的成员”或“伯南森林中的树木”。是否存在欧几里得的共同概念 5（整体大于部分）失败并因此被认为是无限的大量单位，这对梅伯里来说本质上是一个关于自然的问题，不包含任何先验假设。
心理学
数学哲学中的心理学是数学 概念和/或真理以心理事实（或定律）为基础、派生自或解释的立场。
John Stuart Mill似乎一直是一种逻辑心理学的倡导者，就像许多 19 世纪的德国逻辑学家，如Sigwart和Erdmann以及过去和现在的许多心理学家：例如，Gustave Le Bon。弗雷格在他的《算术基础》以及他的许多作品和散文中对心理学进行了着名的批评，包括他对胡塞尔算术哲学的评论。埃德蒙·胡塞尔（Edmund Husserl），在他的《逻辑研究》第一卷中，被称为“纯粹逻辑的序曲”，彻底批判了心理学并试图与它保持距离。与弗雷格的批评相比，“序言”被认为是对心理学的更简洁、公正和彻底的反驳，而且今天也被许多人认为是对心理学的决定性打击而令人难忘的反驳。心理学也受到查尔斯·桑德斯·皮尔斯和莫里斯·梅洛-庞蒂的批评。
经验主义
数学经验主义是一种实在论形式，它否认数学可以是先验的。它说我们通过实证研究发现数学事实，就像任何其他科学中的事实一样。它不是 20 世纪初提倡的古典三种立场之一，而是主要出现在本世纪中叶。然而，这种观点的重要早期支持者是约翰·斯图尔特·米尔。Mill 的观点受到了广泛的批评，因为根据 AJ Ayer 等批评家的说法，它使诸如“2 + 2 = 4”之类的陈述成为不确定的偶然真理，我们只能通过观察两对的实例来学习走到一起，组成一个四重奏。
卡尔·波普尔（Karl Popper）是另一位指出数学经验方面的哲学家，他观察到“大多数数学理论，就像物理学和生物学一样，是假设演绎的：因此，纯数学更接近于假设是猜想的自然科学，甚至比最近看起来还要好。” 波普尔还指出，他“只有当一个系统能够被经验检验时，才会承认它是经验的或科学的”。
由WVO Quine和Hilary Putnam提出的当代数学经验主义主要得到了不可或缺的论点的支持：数学对于所有经验科学都是必不可少的，如果我们要相信科学所描述的现象的真实性，我们也应该相信此描述所需的那些实体的现实。也就是说，既然物理学需要谈论电子来说明为什麽灯泡会表现得那样，那麽电子必须存在. 既然物理学在提供任何解释时都需要谈论数字，那麽数字就必须存在。与奎因和普特南的整体哲学相一致，这是一个自然主义的论点。它主张数学实体的存在是对经验的最佳解释，从而剥夺了数学与其他科学的区别。
普特南强烈反对“柏拉图主义”一词，因为它暗示了一种过于具体的本体论，这对于任何真正意义上的数学实践来说都是不必要的。他提倡一种“纯粹现实主义”形式，拒绝神秘的真理概念，并接受数学中的许多准经验主义。这源于 20 世纪后期越来越流行的断言，即没有一个数学基础可以证明存在。它有时也被称为“数学中的后现代主义”，儘管这个词被一些人认为是超负荷的，被其他人认为是侮辱性的。准经验主义认为，在进行研究时，数学家检验假设并证明定理。数学论证可以将错误从结论传递到前提，就像它可以将真理从前提传递到结论一样。普特南认为，任何数学实在论理论都将包括准经验方法。他提出，做数学的外星物种很可能主要依赖准经验方法，经常愿意放弃严格和公理化的证明，仍然在做数学——也许计算失败的风险更大。对此，他给出了详细的论证新方向。准经验主义也是由Imre Lakatos开发的。
对数学经验观点的最重要批评与针对密尔的批评大致相同。如果数学与其他科学一样具有经验性，那麽这表明它的结果与它们的结果一样容易出错，并且具有偶然性。在密尔的案例中，经验证明直接来自于，而在奎因的案例中，它通过我们整个科学理论的连贯性，即在EO Wilson之后的一致性间接地产生。奎因认为数学似乎是完全确定的，因为它在我们的信仰网络中所扮演的角色非常重要，而且我们很难修改它，儘管并非不可能。
对于试图通过採取每个方面来克服奎因和哥德尔方法的一些缺点的数学哲学，请参阅Penelope Maddy的数学现实主义。现实主义理论的另一个例子是具身心灵理论。
有关表明人类婴儿可以进行基本算术的实验证据，请参阅Brian Butterworth。
虚构主义
数学虚构主义在 1980 年成名，当时哈特里·菲尔德 ( Hartry Field ) 发表了《没有数字的科学》(Science without Numbers )，拒绝并实际上推翻了奎因的不可或缺的论点。奎因认为数学对于我们最好的科学理论是必不可少的，因此应该被接受为谈论独立存在的实体的真理的主体，而菲尔德则认为数学是可有可无的，因此应该被视为不谈论任何东西的谎言的主体真实的。他通过对牛顿力学进行完整的公理化来做到这一点，根本不涉及数字或函数。他从希尔伯特公理的“中介性”开始在不协调空间的情况下表徵空间，然后在点之间添加额外的关係来完成以前由向量场完成的工作。希尔伯特的几何是数学的，因为它讲的是抽象点，但在菲尔德的理论中，这些点是物理空间的具体点，所以根本不需要特殊的数学对象。
在展示瞭如何在不使用数字的情况下做科学之后，菲尔德开始将数学恢復为一种有用的虚构。他证明了数学物理是他的非数学物理的保守扩展（也就是说，数学物理中可以证明的每一个物理事实都已经可以从菲尔德系统证明），因此数学是一个可靠的过程，其物理应用都是正确的，即使它自己的陈述是错误的。因此，在做数学时，我们可以把自己看作是在讲故事，好像数字存在一样。对于菲尔德来说，像“2 + 2 = 4”这样的陈述就像“福尔摩斯住在贝克街 221B 号”一样虚构——但根据相关虚构，两者都是真实的。
另一位小说家Mary Leng简洁地表达了这一观点，将数学与物理世界之间的任何看似联繫视为“一个快乐的巧合”。这种拒绝将虚构主义与其他形式的反现实主义区分开来，后者将数学本身视为人造的，但仍以某种方式限製或适应现实。
这样一来，就没有数学特有的形而上学或认识论问题了。剩下的唯一担忧是对非数学物理和一般小说的普遍担忧。菲尔德的方法非常有影响力，但被广泛拒绝。这部分是因为需要强大的二阶逻辑片段来执行他的还原，并且因为保守性陈述似乎需要对抽像模型或演绎进行量化。
社会建构主义
社会建构主义将数学主要视为一种社会建构，作为文化的产物，可能会发生修正和变化。与其他科学一样，数学被视为一种经验努力，其结果不断被评估并且可能被丢弃。然而，虽然从经验主义的观点来看，评估是与“现实”的某种比较，但社会建构主义者强调数学研究的方向取决于执行它的社会群体的时尚或资助它的社会的需求。然而，儘管这些外力可能会改变一些数学研究的方向，但存在强大的内部约束——数学家被培养成的数学传统、方法、问题、意义和价值观——它们有助于保护历史定义的学科。
这与在职数学家的传统信念背道而驰，即数学在某种程度上是纯粹的或客观的。但社会建构主义者认为，数学实际上是基于许多不确定性：随着数学实践的发展，以前数学的地位受到质疑，并被纠正到当前数学界所要求或期望的程度。这可以从重新审视莱布尼茨和牛顿的微积分的分析发展中看出。他们进一步争辩说，由于过分强调公理证明和同行评审作为实践，完成的数学通常被赋予过多的地位，而民间数学则不够。
数学的社会性质在其亚文化中得到了突出。重大发现可以在数学的一个分支中做出并与另一分支相关，但由于数学家之间缺乏社会联繫，这种关係未被发现。社会建构主义者认为，每个专业都形成了自己的认知共同体，并且经常难以沟通，或激发对可能与不同数学领域相关的统一猜想的调查。社会建构主义者认为“做数学”的过程实际上是在创造意义，而社会现实主义者则认为要么是人类抽象能力的缺陷，要么是人类的认知偏见，要么是数学家的集体智慧。就像阻止理解数学对象的真实世界一样。社会建构主义者有时会拒绝对数学基础的探索，认为它注定会失败、毫无意义甚至毫无意义。
Imre Lakatos和Thomas Tymoczko为这所学校做出了贡献，儘管尚不清楚他们是否会认可这个头衔。最近，保罗·欧内斯特明确提出了一种社会建构主义数学哲学。一些人认为Paul Erdős的工作作为一个整体推进了这一观点（儘管他个人拒绝了这一观点），因为他独特的广泛合作促使其他人将“数学作为一种社会活动”看待和研究，例如，通过Erdős数。鲁本·赫什还推广了数学的社会观，称其为“人文主义”方法，与 Alvin White 相关的方法相似但不完全相同；Hersh 的合着者之一Philip J. Davis也对这种社会观点表示同情。
超越传统学校
不合理的效力
从 1960 年代到 1990 年代，越来越多的运动开始质疑寻求基础或找到任何一个正确答案的想法，而不是专注于关于数学真理的真正本质的狭隘辩论，甚至是数学家独有的实践，例如证明。为什麽数学有效。这方面的出发点是尤金·维格纳1960 年的着名论文“自然科学中数学的不合理有效性”，他在该论文中认为，数学和物理如此匹配的快乐巧合似乎是不合理且难以解释的。
波普尔的两种数感陈述
现实主义和建构主义理论通常被认为是相反的。然而，Karl Popper [35]认为，诸如“2 个苹果 + 2 个苹果 = 4 个苹果”之类的数字陈述可以有两种含义。从某种意义上说，它是无可辩驳的，并且在逻辑上是正确的。在第二种意义上，它实际上是真实的和可证伪的。另一种说法是，一个单一的数字陈述可以表达两个命题：其中一个可以用建构主义的路线来解释；另一个在现实主义路线上。
语言哲学
20 世纪语言哲学的创新重新激发了人们对数学是否像人们常说的那样是科学语言的兴趣。儘管一些数学家和哲学家会接受“数学是一种语言”这一说法，但语言学家认为必须考虑这种说法的含义。例如，语言学的工具一般不适用于数学的符号系统，也就是说，数学的研究方式与其他语言明显不同。如果数学是一种语言，那麽它就是一种不同于自然语言的语言. 事实上，由于需要清晰和具体，数学语言比语言学家研究的自然语言受到的限制要大得多。然而，弗雷格和塔斯基为研究数学语言而开发的方法已经被塔斯基的学生理查德蒙塔古和其他从事形式语义学的语言学家大大扩展，以表明数学语言和自然语言之间的区别可能并不像看起来那麽大.
Mohan Ganesalingam 使用形式语言学的工具分析了数学语言。 Ganesalingam 指出，在分析数学语言（例如时态）时，自然语言的某些特徵不是必需的，但可以使用许多相同的分析工具（例如上下文无关语法）。一个重要的区别是数学对象具有明确定义的类型，可以在文本中明确定义：“实际上，我们可以在一个句子的一部分中引入一个词，并在另一个部分中声明它的词性；并且这个操作在自然语言中没有类似物。”
论据
现实主义不可或缺的论证
这一论点与Willard Quine和Hilary Putnam相关，被Stephen Yablo认为是支持接受抽像数学实体（例如数字和集合）存在的最具挑战性的论点之一。论证的形式如下。
一个人必须对所有最好的科学理论必不可少的实体做出本体论承诺，并且仅限于那些实体（通常称为“所有且唯一”）。
数学实体对于最好的科学理论是必不可少的。所以，
一个人必须对数学实体有本体论的承诺。
第一个前提的理由是最有争议的。普特南和奎因都援引自然主义来证明排除所有非科学实体的合理性，从而捍卫“所有且唯一”的“唯一”部分。确认整体论证明了科学理论中假设的“所有”实体，包括数字，都应该被接受为真实的断言。由于理论不是以零碎的方式得到证实，而是作为一个整体得到证实，因此没有理由排除在得到充分证实的理论中提到的任何实体。这使得唯名论者希望排除集合和非欧几何的存在，但包括夸克的存在和其他无法检测到的物理实体，例如，处于困难的位置。
反对现实主义的认识论论证
Paul Benacerraf和Hartry Field提出了反对柏拉图主义的反实在论“认识论论证” 。柏拉图主义假定数学对像是抽象实体。一般认为，抽象实体不能与具体的物理实体进行因果交互（“我们的数学断言的真值取决于涉及驻留在时空之外领域的柏拉图实体的事实” ）。虽然我们对具体物理对象的了解是基于我们感知的能力它们，因此为了与它们进行因果交互，没有平行的说明数学家如何获得抽像对象的知识。另一种表达观点的方式是，如果柏拉图世界消失，那麽数学家生成证明等的能力将没有什麽不同，这已经在以下方面完全负责他们大脑中的物理过程。
菲尔德将他的观点发展成虚构主义。贝纳塞拉夫还发展了数学结构主义哲学，根据该哲学，没有数学对象。儘管如此，结构主义的某些版本与现实主义的某些版本兼容。
该论点基于这样一种观点，即可以根据大脑过程对思维过程进行令人满意的自然主义解释，以用于数学推理以及其他一切。一条防线是坚持这是错误的，因此数学推理使用一些涉及与柏拉图领域接触的特殊直觉。罗杰彭罗斯爵士给出了这一论点的现代形式。
另一道防线是坚持抽像对象与数学推理的相关性是非因果的，并且与感知不相似。这个论点是由杰罗德·卡茨 ( Jerrold Katz ) 在他 2000 年出版的“现实理性主义”一书中提出的。
更激进的辩护是否认物理现实，即数学宇宙假说。在这种情况下，数学家的数学知识就是一个数学对象与另一个对象接触。
美学
许多实践数学家之所以被他们的主题所吸引，是因为他们从中感受到了一种美感。人们有时会听到这样一种情绪，即数学家想把哲学留给哲学家，然后回到数学——大概就是美所在。
在他关于神圣比例的着作中，亨特利将阅读和理解别人的数学定理证明的感觉与观看艺术杰作的人的感觉联繫起来——证明的读者在理解方面有类似的兴奋感证明的原作者，就像他认为杰作的观众有一种与原画家或凋塑家相似的兴奋感。事实上，人们可以将数学和科学着作作为文学来研究。
Philip J. Davis和Reuben Hersh评论说，数学美感在实践数学家中是普遍存在的。例如，他们提供了√2不合理性的两个证明。第一种是传统的反证法，属于欧几里得；第二个是涉及算术基本定理的更直接的证明，他们认为，它触及了问题的核心。戴维斯和赫什认为，数学家发现第二个证明在美学上更有吸引力，因为它更接近问题的本质。
Paul Erdős以他的假设“书”的概念而闻名，其中包含最优雅或最美丽的数学证明。一个结果有一个“最优雅”的证明并没有普遍的共识。Gregory Chaitin反对这个想法。
哲学家们有时批评数学家对美或优雅的感觉充其量只是含煳其辞。然而，出于同样的原因，数学哲学家试图描述是什麽使一个证明比另一个证明在逻辑上合理时更可取。
与数学有关的美学的另一个方面是数学家对数学可能用于被认为不道德或不适当的目的的看法。这种观点最着名的阐述出现在GH Hardy的《数学家的道歉》一书中，其中 Hardy 认为纯数学在美方面优于应用数学，正是因为它不能用于战争和类似目的。
