4

Zermelo-Fraenkel 集合论

在集合论中，以数学家Ernst Zermelo和Abraham Fraenkel命名的 Zermelo-Fraenkel集合论是一个公理系统，它是在 20 世纪初提出的，目的是製定一个没有诸如罗素悖论等悖论的集合理论。今天，包括历史上颇有争议的选择公理(AC) 在内的策梅洛-弗兰克尔集合论是公理化集合论的标准形式，因此是最常见的数学基础。包含选择公理的 Zermelo-Fraenkel 集合理论缩写为ZFC，其中 C 代表“选择”，并且ZF指的是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理，排除了选择公理。

非正式地，Zermelo-Fraenkel 集合论旨在形式化一个单一的原始概念，即遗传 的有根据的 集合的概念，因此话语领域中的所有实体都是这样的集合。因此，Zermelo-Fraenkel 集合论的公理只涉及纯集合，并防止其模型包含ureelements（集合的元素本身不是集合​​）。此外，适当的类（数学对象的集合由其成员共享的属性定义，其中集合太大而无法设置）只能间接处理。具体来说，Zermelo-Fraenkel 集合论不允许存在一个全集（包含所有集合的集合），也不允许无限制的理解，从而避免了罗素悖论。Von Neumann-Bernays-Gödel 集合论(NBG) 是 Zermelo-Fraenkel 集合论的常用保守扩展，它确实允许对适当的类进行显式处理。

Zermelo-Fraenkel 集合论的公理有许多等价的公式。大多数公理都表明存在从其他集合定义的特定集合。例如，配对公理说给定任意两个集合ａ和ｂ结合为｛ａ，ｂ｝确切的包含ａ和ｂ。其他公理描述了集合成员的属性。公理的一个目标是，如果将每个公理解释为关于冯诺依曼宇宙中所有集合的集合的陈述（也称为累积层次结构），则每个公理都应该为真。形式上，ZFC 是一阶逻辑中的单分类理论。签名具有相等性和单一的原始二元关係，旨在形式化集合成员关係，通常表示为∈。公式ａ∈ｂ意味着集合ａ是ｂ集合的元素。

Zermelo-Fraenkel 集合论的元数学已被广泛研究。该领域的里程碑式结果确立了选择公理与其馀 Zermelo-Fraenkel 公理的逻辑独立性（参见选择公理§独立性）和 ZFC 的连续统假设。ZFC 等理论的一致性无法在理论本身内得到证明，如哥德尔第二不完备定理所示。

历史

集合论的现代研究由Georg Cantor和Richard Dedekind在 1870 年代发起。然而，朴素集合论中悖论的发现，例如罗素悖论，导致人们渴望一种没有这些悖论的更严格的集合论形式。 1908 年，Ernst Zermelo提出了第一个公理集合论，Zermelo 集合论。然而，正如亚伯拉罕·弗兰克尔在 1921 年给策梅洛的信中首先指出的那样，该理论无法证明某些集合和基数的存在，它们的存在被当时的大多数集合理论家认为是理所当然的，尤其是基数ℵω和集合｛Ｚ₀，Ｐ（Ｚ₀），Ｐ（Ｐ（Ｚ₀）），Ｐ（Ｐ（Ｐ（Ｚ₀）））……｝Ｚ₀是任何无限集并且Ｐ是幂集运算。此外，Zermelo 的一个公理引用了一个概念，即“确定”属性的概念，其操作意义并不明确。1922 年，Fraenkel 和Thoralf Skolem独立提议将“确定”属性操作化为可以在一阶逻辑中表述为格式良好的公式，其原子公式仅限于设置成员资格和身份。他们还独立提出用替换公理模式替换规范公理模式。附加这个模式，以及规律性公理（由约翰·冯·诺伊曼首先提出），[4]到 Zermelo 集合论产生了由ZF表示的理论。将选择公理(AC) 或与其等效的语句添加到 ZF。

公理

ZFC 公理有许多等价的公式；有关这方面的讨论，请参见Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973。以下特定公理集来自Kunen (1980)。公理本身以一阶逻辑的符号表示。相关的英文散文只是为了帮助直觉。

ZFC 的所有公式都暗示至少存在一个集合。除了下面给出的公理之外，Kunen 还包括一个直接断言存在集合的公理（儘管他指出他这样做只是“为了强调”）。[5]这裡的省略可以通过两种方式证明。首先，在 ZFC 通常形式化的一阶逻辑的标准语义中，话语域必须是非空的。因此，某物存在是一阶逻辑的逻辑定理——通常表示为某物与自身相同的断言，∃ｘ（ｘ=ｘ）。因此，存在某物是每个一阶理论的一个定理。然而，如上所述，因为在 ZFC 的预期语义中只有集合，所以在 ZFC 的上下文中对这个逻辑定理的解释是存在一些集合。因此，不需要单独的公理断言集合存在。其次，即使 ZFC 是用所谓的自由逻辑制定的，其中仅从逻辑无法证明某物的存在，无穷公理（如下）断言存在无限集。这意味着存在一个集合，因此再一次包含一个断言同样多的公理是多馀的。

1. 外延公理

如果两个集合具有相同的元素，则它们是相等的（相同的集合）。

∀ｘ∀ｙ[∀ｚ（ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ）⇒ｘ=ｙ]

这个公理的反面是由等式的替代性质得出的。如果后台逻辑不包括相等“=”，ｘ=ｙ可以定义为以下公式的缩写：

∀ｚ[ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ]∧∀ｗ[ｘ∈ｗ⇔ｙ∈ｗ]

在这种情况下，外延公理可以重新表述为

∀ｘ∀ｙ[∀ｚ（ｚ∈ｘ⇔ｚ∈ｙ）⇒∀ｗ（ｘ∈ｗ⇔ｙ∈ｗ）]

如果ｘ和ｙ具有相同的元素，则它们属于相同的集合。

2. 规律性公理（也称为基础公理）

每个非空集ｘ包含一个元素ｙ，这样ｘ和ｙ是不相交的集合。

∀ｘ[∃ａ（ａ∈ｘ）⇒∃ｙ（ｙ∈ｘ∧¬∃ｚ（ｚ∈ｙ∧ｚ∈ｘ））]

或用现代表示法：∀ｘ（ｘ≠∅⇒∃ｙ（ｙ∈ｘ∧ｙ∩ｘ=∅））

3. 规范公理模式（也称为分离公理模式或受限理解公理模式）

子集通常使用集合构建器表示法构造。例如，偶数可以构造为整数的子集满足模数运算谓词ｘ≡0（mod 2）。

｛ｘ∈整数：ｘ≡0（mod 2）｝

一般来说，集合的子集ｚ在公式Φ（ｘ），当中的自由变量ｘ可以写成：

｛ｘ∈ｚ：Φ（ｘ）｝

规范的公理模式表明该子集始终存在（它是公理模式，因为每个子集都有一个公理Φ）让Φ正式地成为ZFC语言中的任何公式，其中所有自由变量ｘ，ｚ，ｗ₁，……，ｗₙ（ｙ不属于Φ）。然后：

∀ｚ∀ｗ₁∀ｗ₂……∀ｗₙ∃ｙ∀ｘ[ｘ∈ｙ⇔（ｘ∈ｚ）∧Φ]

请注意，规范的公理模式只能构造子集，并且不允许构造更一般形式的实体：

｛ｘ：Φ（ｘ）｝

这个限制对于避免罗素悖论是必要的（让ｙ=｛ｘ：ｘ∉ｘ｝然后ｙ∈ｙ⇔ｙ∉ｙ）及其伴随朴素集理论的变体，具有不受限制的理解。

在 ZF 的其他一些公理化中，这个公理是多馀的，因为它遵循替换公理模式和空集公理。

另一方面，规范公理可以用来证明空集的存在，记为∅，一旦已知至少一组存在（见上文）。一种方法是使用属性∅没有集合。例如，如果ｗ是任何现有的集合，空集可以构造为

∅=｛ｕ∈ｗ│（ｕ∈ｗ）∧¬（ｕ∈ｗ）｝

因此，空集的公理被这裡提出的九个公理所暗示。外延公理意味着空集是唯一的（不依赖于ｗ）。通常进行定义扩展，添加符号“∅”到 ZFC 的语言。

4. 配对公理

如果ｘ和ｙ是集合，那麽存在一个集合包含ｘ和ｙ作为元素。

∀ｘ∀ｙ∃ｚ（（ｘ∈ｚ）∧（ｙ∈ｚ））

必须使用规范的公理模式将其简化为恰好具有这两个元素的集合。配对公理是 Z 的一部分，但在 ZF 中是多馀的，因为它遵循替换公理模式，如果给定一个包含至少两个元素的集合。具有至少两个元素的集合的存在由无穷公理或规范公理模式和两次应用于任何集合的幂集公理来保证。

5.联合公理

存在集合元素的并集，例如集合元素的并集｛｛1,2｝，｛2,3｝｝是｛1,2,3｝。

联合公理指出，对于任何集合Ｆ有一个Ａ包含属于某个集合的每个元素Ｆ。

∀Ｆ∃Ａ∀Ｙ∀ｘ[(ｘ∈Ｙ∧Ｙ∈Ｆ)⇒ｘ∈Ａ]

虽然这个公式没有直接断言存在∪Ｆ，集合∪Ｆ可以由Ａ在上面使用规范的公理模式。

∪Ｆ=｛ｘ∈Ａ：∃Ｙ（ｘ∈Ｙ∧Ｙ∈Ｆ）｝

6. 替换公理模式

替换公理模式断言，在任何可定义函数下的集合的图像也将落入集合内。

正式地，让φ是 ZFC 语言中的任意公式，其自由变量在 ｘ，ｙ，Ａ，ｗ₁，……，ｗₙ，所以特别是Ｂ不是免费的φ然后：

∀Ａ∀ｗ₁∀ｗ₂……∀ｗₙ[∀ｘ（ｘ∈Ａ⇒∃!ｙφ）⇒∃Ｂ∀ｘ（ｘ∈Ａ⇒∃ｙ（ｙ∈Ｂ∧φ））]

换句话说，如果关係φ表示一个可定义的函数ｆ，Ａ表示它的域，并且ｆ（ｘ）是每个人的集合ｘ∈Ａ然后ｆ的范围是某个集合的子集 Ｂ。此处所述的表格，其中Ｂ可能大于严格必要的，有时称为集合的公理模式。

7. 无穷公理

让Ｓ（ｗ）缩写ｗ∪｛ｗ｝，在那裡ｗ是一些设置。（我们可以看到 { w }是通过应用配对公理的有效集合ｘ=ｙ=ｗ使得集合z是 { w }）。那麽存在一个集合X使得空集 ∅ 公理化地定义, 是X的成员并且, 每当集合y是X的成员时 Ｓ（ｙ）也是X的成员。

∃Ｘ[∃ｅ（∀ｚ¬（ｚ∈ｅ））∧ｅ∈Ｘ∧∀ｙ（ｙ∈Ｘ⇒Ｓ（ｙ）∈Ｘ）]

更通俗地说，存在一个具有无限多个成员的集合X。（然而，必须确定这些成员都是不同的，因为如果两个元素相同，则序列将在有限的集合循环中循环。正则公理防止这种情况发生。）满足的最小集合X无穷公理是冯诺依曼序数 ω，它也可以被认为是自然数的集合

前几个冯诺依曼序数

0

= { }

= ∅

1

= { 0}

= {∅}

2

= { 0, 1}

= { ∅, {∅} }

3

= { 0, 1, 2}

= {∅，{∅}，{∅，{∅}}}

4

= { 0, 1, 2, 3}

= {∅，{∅}，{∅，{∅}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}}}

8.幂集公理

根据定义一个集合 z 是集合的子集ｘ当且仅当 z 也是一个元素 ｘ：

（ｚ⊆ｘ）⇔（∀ｑ（ｑ∈ｚ⇒ｑ∈ｘ））

幂集公理指出，对于任何集合ｘ有一个集合ｙ包含每个子集ｘ：

∀ｘ∃ｙ∀ｚ[ｚ⊆ｘ⇒ｚ∈ｙ]

然后使用规范的公理模式来定义幂集Ｐ（ｘ）作为这样一个子集ｙ包含的子集ｘ：

Ｐ（ｘ）={ｚ∈ｙ∶ｚ⊆ｘ}

公理1-8定义了 ZF。经常遇到这些公理的替代形式，其中一些在Jech (2003)中列出。一些 ZF 公理化包括断言空集存在的公理。配对公理、并集公理、替换公理和幂集公理经常被表述为使得集合的成员ｘ其存在被断言的正是公理断言的那些集合ｘ必须包含。

9. 良序定理

对于任何集合 X, 存在二元关係 R哪个井井有条 X. 这表示 R 是一个线性顺序 X 使得每个非空子集 X 有一个成员是最小的 R.

∀ X ∃ R ( R well-orders X ) .

给定公理1  -  8，有许多陈述可证明等价于公理9，其中最着名的是选择公理(AC)，如下所示。让 X 是一个集合，其成员都是非空的。那麽存在一个函数 F 从 X 对会员的工会 X ，称为“选择函数”，这样对于所有 Y ∈ X 一个有 F ( Y ) ∈ Y由于存在选择函数时X 是一个有限集很容易从公理1-8证明，AC 只对某些无限集很重要。AC 被描述为非建设性的，因为它断言选择集的存在，但没有说明选择集是如何“构造的”。许多研究试图描述某些集合的可定义性（或缺乏），其存在 AC 断言。

通过累积层次的动机

ZFC 公理的一个动机是John von Neumann引入的集合的累积层次结构。[9]在这个观点中，集合论的宇宙是分阶段建立的，每个序数都有一个阶段。在阶段 0 还没有集合。在接下来的每个阶段，如果集合的所有元素都已在之前的阶段添加，则将其添加到 Universe。因此空集在阶段 1 添加，包含空集的集合在阶段 2 添加。[10]以这种方式获得的所有集的集合，在所有阶段，被称为V。V中的集合可以通过为每个集合分配该集合添加到V的第一阶段来将其排列成层次结构。

可以证明一个集合在V中当且仅当该集合是纯的且有充分根据的。如果序数类具有适当的反射属性，则V满足 ZFC 的所有公理。例如，假设在阶段 α 添加了一个集合x，这意味着x的每个元素都是在比 α 更早的阶段添加的。然后x的每个子集也在阶段 α（或之前）添加，因为x的任何子集的所有元素也在阶段 α 之前添加。这意味着分离公理可以构造的x的任何子集都在阶段 α（或之前）被添加，并且x的幂集将在α之后的下一阶段添加。有关V满足 ZFC的完整论证，请参见Shoenfield (1977)。

分层到累积层次中的集合宇宙的图景是 ZFC 和相关公理化集合论的特徵，例如冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论（通常称为 NBG）和莫尔斯-凯利集合论。累积层次结构与其他集合论不兼容，例如新基础。

可以更改V的定义，以便在每个阶段，而不是添加先前阶段的并集的所有子集，而仅在子集在某种意义上是可定义的时才添加。这导致了一个更“窄”的层次结构，它给出了可构造的宇宙 L，它也满足 ZFC 的所有公理，包括​​选择公理。V = L是否独立于 ZFC 公理。儘管L的结构比V的结构更规则且表现良好 ，但很少有数学家认为 V = L应该作为附加的“可构造性公理”添加到 ZFC 中。

元数学

如前所述，正确的类（由其成员共享的属性定义的数学对象的集合，这些属性太大而无法设置）只能在 ZF（以及 ZFC）中间接处理。保留在 ZF 和 ZFC 中的适当类的替代方法是Quine (1969)引入的虚拟类符号构造，其中整个构造y ∈ { x | F x } 被简单地定义为 F y。[11]这为可以包含集合但本身不必是集合的类提供了一种简单的符号，同时不承诺类的本体（因为符号可以在语法上转换为仅使用集合的符号）。Quine 的方法建立在Bernays & Fraenkel (1958)的早期方法之上。虚拟类也用于Levy (2002)、Takeuti & Zaring (1982)以及 ZFC 的Metamath实现中。

冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论

替换和分离的公理图式每个都包含无限多的实例。Montague (1961)包括在他 1957 年的博士学位中首次证明的结果。论文：如果 ZFC 是一致的，则不可能仅使用有限多个公理来公理化 ZFC。另一方面，冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论(NBG) 可以被有限公理化。NBG的本体包括适当的类和集合；集合是可以是另一个类的成员的任何类。NBG 和 ZFC 是等价集理论，因为任何不提及类且在一个理论中可证明的定理都可以在另一个理论中得到证明。

一致性

哥德尔的第二不完备性定理说，一个可以解释罗宾逊算术的递归公理化系统只有在它不一致的情况下才能证明它自己的一致性。此外，罗宾逊算术可以用一般集合论来解释，这是 ZFC 的一个小片段。因此，ZFC 的一致性无法在 ZFC 本身内得到证明（除非它实际上是不一致的）。因此，就 ZFC 等同于普通数学而言，ZFC 的一致性无法在普通数学中得到证明。ZFC 的一致性确实源于弱不可访问基数的存在，如果 ZFC 是一致的，这在 ZFC 中是不可证明的。儘管如此，人们认为 ZFC 不太可能存在意想不到的矛盾。人们普遍认为，如果 ZFC 不一致，那麽现在这个事实就会被发现。这是肯定的——ZFC 不受朴素集合论的经典悖论的影响：罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

Abian & LaMacchia (1978)研究了ZFC的一个子理论，它由外延性公理、联合公理、幂集公理、替换公理和选择公理组成。使用模型，他们证明了这个子理论是一致的，并证明了外延性、替换性和幂集公理中的每一个公理都独立于这个子理论的其馀四个公理。如果这个子理论增加了无穷公理，则联合公理、选择公理和无穷大公理中的每一个都独立于其馀五个公理。因为除了正则性公理之外，存在满足 ZFC 的每个公理的非有根据的模型，该公理独立于其他 ZFC 公理。

如果一致，ZFC 无法证明范畴论所要求的不可接近基数的存在。如果用Tarski 的公理来扩充 ZF，那麽这种性质的巨大集合是可能的。[12]假设公理将无穷大公理、幂集公理和选择公理（以上7-9  ） 转化为定理。

独立

许多重要的语句独立于 ZFC（参见独立于 ZFC 的语句列表）。独立性通常通过强制来证明，从而表明 ZFC 的每个可数传递模型（有时会增加大基数公理）都可以扩展以满足所讨论的陈述。然后显示一个不同的扩展来满足该陈述的否定。通过强制的独立性证明自动证明与算术陈述、其他具体陈述和大基数公理的独立性。一些独立于 ZFC 的陈述可以被证明适用于特定的内部模型，例如在可构造的宇宙中。. 然而，一些关于可构造集的陈述与假设的大基数公理不一致。

强制证明以下语句与 ZFC 无关：

连续统假设

鑽石原理

苏斯林假说

马丁公理（不是 ZFC 公理）

可构造性公理 (V=L)（这也不是 ZFC 公理）。

评论：

V=L 的一致性可以通过内部模型来证明，但不是强制的：ZF 的每个模型都可以修剪成为 ZFC + V=L 的模型。

鑽石原理意味着连续统假设和对苏斯林假设的否定。

马丁公理加上对连续统假设的否定意味着苏斯林假设。

可构造宇宙满足广义连续统假设、鑽石原理、马丁公理和库勒帕假设。

Kurepa 假设的失败与强烈不可接近的基数的存在是等价的。

强制方法的变体也可用于证明选择公理的一致性和不可证明性，即选择公理与 ZF 无关。通过证明内部模型 L 满足选择，可以（相对）容易地验证选择的一致性。（因此 ZF 的每个模型都包含 ZFC 的子模型，因此 Con(ZF) 蕴含 Con(ZFC)。）由于强制保留选择，我们不能直接从满足选择的模型中生成与选择相矛盾的模型。但是，我们可以使用强制创建一个包含合适子模型的模型，即满足 ZF 但不满足 C 的模型。

另一种证明独立性结果的方法是基于哥德尔的第二不完备性定理。该方法使用正在检查其独立性的语句来证明 ZFC 的集合模型的存在，在这种情况下 Con(ZFC) 为真。由于 ZFC 满足哥德尔第二定理的条件，ZFC 的一致性在 ZFC 中是不可证明的（前提是 ZFC 实际上是一致的）。因此，在 ZFC 中不能证明允许这种证明的陈述。这种方法可以证明大基数的存在在 ZFC 中是不可证明的，但不能证明在给定 ZFC 的情况下假设这样的基数是没有矛盾的。

提议的补充

将集合理论家统一在其他公理背后以解决连续统假设或其他元数学歧义的项目有时被称为“哥德尔计划”。[13]数学家们目前争论哪些公理是最合理的或“不言而喻的”，哪些公理在各个领域最有用，以及应该在多大程度上用合理性来权衡有用性；一些“多元宇宙”” 集合论者认为，有用性应该是公理习惯採用的唯一最终标准。一种思想流派倾向于扩展集合的“迭代”概念，以产生具有有趣和復杂但合理易处理结构的集合论宇宙通过採用强制公理；另一所学校提倡更整洁、更少混乱的宇宙，也许专注于“核心”内部模型。[14]

批评

有关对集合论的一般批评，请参阅对集合论的反对意见

ZFC 被批评为过强和过弱，以及未能捕获适当类和全集等对象。

许多数学定理可以在比 ZFC 弱得多的系统中得到证明，例如Peano 算术和二阶算术（正如逆向数学程序所探索的那样）。Saunders Mac Lane和Solomon Feferman都提出了这一点。一些“主流数学”（与公理集合论没有直接联繫的数学）超出了Peano算术和二阶算术，但是，所有这些数学都可以在ZC（Zermelo set theory with choice）中进行，另一种理论弱于ZFC。ZFC 的大部分功能，包括规律性公理和替换公理模式，主要是为了促进对集合论本身的研究。

另一方面，在公理化集合论中，ZFC 相对较弱。与New Foundations不同，ZFC 不承认通用集的存在。因此ZFC 下的集合全域在集合代数的基本运算下不是封闭的。与冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论(NBG) 和莫尔斯-凯利集合论(MK) 不同，ZFC 不承认真类的存在。ZFC 的另一个比较弱点是 ZFC 中包含的选择公理弱于NBG 和 MK 中包含的全局选择公理。

有许多独立于 ZFC 的数学语句。其中包括连续统假设、怀特黑德问题和正常的摩尔空间猜想。这些猜想中的一些可以通过在ZFC中添加公理（例如Martin 公理或大基数公理）来证明。其他一些是在 ZF+AD 中决定的，其中 AD 是确定性公理，一个与选择不相容的强假设。大基数公理的一个吸引力在于，它们使 ZF+AD 的许多结果能够在 ZFC 中建立，并与一些大基数公理相邻（参见射影确定性）。Mizar系统和Metamath採用了Tarski-Grothendieck 集合论，它是 ZFC 的扩展，因此可以形式化涉及Grothendieck 宇宙的证明（在范畴论和代数几何中遇到）。

一致性

在经典 演绎逻辑中，一致的 理论是不会导致逻辑矛盾的理论。可以用语义或句法术语来定义缺乏矛盾。语义定义表明，如果一个理论有一个模型，那麽它是一致的，即存在一种解释，在该解释下，该理论中的所有公式都是正确的。这是传统亚里士多德逻辑中使用的含义，儘管在当代数理逻辑中使用了可满足的术语。句法定义陈述了一个理论 T 如果没有公式是一致的 φ 这样既 φ 及其否定 ¬ φ 是结果集的元素 T . 让 A 是一组封闭的句子（非正式地“公理”）和 ⟨ A ⟩ 可证明的封闭句集 A 在某些（指定的，可能是隐含的）形式演绎系统下。公理集 A 是一致的 φ , ¬ φ ∈ ⟨ A ⟩ 因为没有公式 φ

如果存在一个演绎系统，其中这些语义和句法定义对于在特定演绎逻辑中表述的任何理论都是等价的，则该逻辑称为完整的。 Paul Bernays在 1918 年和Emil Post在 1921 年证明了句子演算的完整性，而1930 年Kurt Gödel证明了谓词演算的完整性， [5]和一致性证明的算术限制相对于Ackermann (1924)、von Neumann (1927) 和 Herbrand (1931) 证明了归纳公理模式。更强的逻辑，例如二阶逻辑，是不完整的。

一致性证明是对特定理论一致的数学证明。[7]数学证明理论的早期发展是由希望为所有数学提供有限一致性证明作为希尔伯特计划的一部分而推动的。希尔伯特的程序受到不完备定理的强烈影响，这表明足够强的证明理论不能证明它们自己的一致性（前提是它们实际上是一致的）。

虽然可以通过模型理论来证明一致性，但它通常以纯句法的方式完成，不需要引用逻辑的某些模型。割消除（或等价的基础演算的归一化，如果有的话）暗示了演算的一致性：因为没有无割的假性证明，所以一般不存在矛盾。

算术和集合论的一致性和完整性

在皮亚诺算术等算术理论中，理论的一致性与其完备性之间存在着错综複杂的关係。如果对于其语言中的每个公式 φ，至少有一个 φ 或 ¬φ 是该理论的逻辑结果，则该理论是完整的。

Presburger 算术是加法下自然数的公理系统。它既一致又完整。

哥德尔的不完备性定理表明，任何足够强的递归可枚举算术理论不可能既完备又一致。哥德尔定理适用于Peano 算术(PA) 和原始递归算术(PRA) 的理论，但不适用于Presburger 算术。

此外，哥德尔的第二不完备性定理表明，足够强的递归可枚举算术理论的一致性可以以特定的方式进行检验。这种理论是一致的当且仅当它没有证明一个特定的句子，称为该理论的哥德尔句子，它是该理论确实一致的主张的形式化陈述。因此，一个足够强大的、可递归枚举的、一致的算术理论的一致性永远无法在该系统本身中得到证明。对于可以描述足够强的算术片段的递归可枚举理论，同样的结果也是如此——包括诸如策梅洛-弗兰克尔集合论之类的集合论(採埃孚)。这些集合论不能证明他们自己的哥德尔语句——前提是它们是一致的，这是普遍认为的。

因为 ZF 的一致性在 ZF 中是不可证明的，所以较弱的概念相对一致性在集合论（以及其他充分錶达的公理系统）中很有趣。如果T是一个理论并且A是一个附加公理，那麽如果可以证明如果T是一致的，则T+AT+A相对于T（或者简单地说A与T。如果A和 ¬A都与T，则称A独立于T。

一阶逻辑

符号

⊢ （旋转门符号）在以下数学逻辑上下文中，表示“可证明”。那是， a ⊢ b 读取：b可从a证明（在某些指定的形式系统中）。请参阅逻辑符号列表。在其他情况下，十字转门符号可能意味着暗示；允许推导。请参阅：数学符号列表。

定义

一组公式 Φ一阶逻辑是一致的（写成 Con ⁡ Φ ) 如果没有公式 φ 这样 Φ ⊢ φ和 Φ ⊢ ¬ φ . 否则 Φ 不一致（写 Inc ⁡ Φ ）。

Φ如果没有公式，则说是简单一致的 φ的 Φ ， 两个都 φ 和否定_ φ 是定理 Φ

Φ 如果至少有一个公式在 Φ不是一个定理 Φ.

Φ 被认为是最大一致的，如果 Φ 是一致的，并且对于每个公式 φ, Con ⁡ ( Φ ∪ { φ } ) 暗示 φ ∈ Φ.

Φ 如果对于表格的每个公式，则据说包含证人 ∃ x φ 存在一个术语 t这样 ( ∃ x φ → φ t/x ) ∈ Φ ， 在哪裡 φ t/x表示每个的替换 x在 φ由一个 t 另见一阶逻辑。

基本结果

以下是等价的：

Inc ⁡ Φ

对所有人 φ , Φ ⊢ φ .

每个可满足的公式集都是一致的，其中一组公式 Φ当且仅当存在模型时是可满足的 J 这样 J ⊨ Φ .

对所有人 Φ和 φ：

如果不 Φ ⊢ φ， 然后 Con ⁡ ( Φ ∪ { ¬ φ } );

如果 Con ⁡ Φ 和 Φ ⊢ φ ， 然后 Con ⁡ ( Φ ∪ { φ } ) ;

如果 Con ⁡ Φ ， 然后 Con ⁡ ( Φ ∪ { φ } ) 或者 骗局 ⁡ ( Φ ∪ { ¬ φ } ).

让 Φ是一组最大一致的公式，并假设它包含见证。对所有人 φ 和 ψ ：

如果 Φ ⊢ φ ， 然后 φ ∈ Φ ,

任何一个 φ ∈ Φ 或者 ¬ φ ∈ Φ ,

( φ ∨ ψ ) ∈ Φ 当且仅当 φ ∈ Φ 或者 ψ ∈ Φ,

如果 ( φ → ψ ) ∈ Φ 和 φ ∈ Φ ， 然后 ψ ∈ Φ ,

∃ x φ ∈ Φ 当且仅当有一个术语 t 这样 φ t/x ∈ Φ

亨金定理

让 S 是一组符号。让 Φ 是一个最大一致的集合 S- 包含见证人的公式。

定义等价关係 ～ 在集合上 S-条款由 t₀ ～ t₁ 如果 t₀ ≡ t₁ ∈ Φ ， 在哪裡 ≡ 表示平等。让 t 表示包含的项的等价类 t ; 然后让 TΦ := { t∣ t ∈ T^S } 在哪裡T^S是基于符号集的术语集 S.

定义 S-结构 ＩΦ 超过 TΦ ，也称为对应于的期限结构 Φ ， 经过：

对于每个 n -ary 关係符号 R ∈ S ， 定义 R ＩΦ t 0 … t n - 1 如果 R t 0 … t n - 1 ∈ Φ ;

对于每个 n-ary 函数符号 f ∈ S ， 定义 F Ｉ Φ ( t 0 … t n - 1 ) := F t 0 … t n - 1 ;

对于每个常数符号 c ∈ S ， 定义 c Ｉ Φ := c .

定义变量赋值 β Φ 经过 β Φ ( X ) := X 对于每个变量 X . 让 J Φ := ( Ｉ Φ , β Φ ) 是与相关的术语解释 Φ

那麽对于每个 S-公式 φ ：

J Φ ⊨ φ 当且仅当 φ ∈ Φ .

证明草图

有几件事需要验证。首先，那个 ～ 实际上是等价关係。然后，需要验证 (1)、(2) 和 (3) 是否定义良好。这不符合以下事实 ～ 是等价关係，还需要证明 (1) 和 (2) 独立于 t 0 , … , t n - 1 代表。最后， J Φ ⊨ φ 可以通过对公式的归纳来验证。

模型理论

在具有经典一阶逻辑的ZFC 集合论中，[9]是一个不一致的理论 T 是这样一个存在一个封闭的句子 φ 这样 T 包含两者 φ 及其否定 φ ' 一致理论是这样一种理论，即以下逻辑等价条件成立

{ φ , φ ' } ⊈ T

φ ' ∉ T ∨ φ ∉ T