Reflecting基数
在集合论（一门数学学科）中，Reflecting基数是基数 κ，对于该基数 κ，在 κ 上有一个正常的理想 I，使得对于每个X ∈ I +，X在 α 处反射的 α∈κ 的集合在I + . （如果S ∩α 在 α 中是静止的，则据说 κ的静止子集 S在 α
每个弱紧緻基数都是一个Reflecting基数，也是一个Reflecting基数的极限。不可达的Reflecting基数的一致性强度严格大于极大 Mahlo 基数，其中基数 κ如果是κ + -Mahlo ，则称为极大Mahlo （Mekler & Shelah 1989）。然而，不可达的Reflecting基数通常不是 Mahlo
weakly compact基数
在数学中，weakly compact基数是Erdős & Tarski (1961)引入的某种基数；weakly compact基数是大基数，这意味着不能从集合论的标准公理证明它们的存在。（塔斯基最初称它们为“不是非常紧凑”的基数。）
形式上，基数 κ 被定义为弱紧緻，如果它是不可数的并且对于每个函数f : [κ] 2 → {0, 1} 有一组基数κ对于f是齐次的。在这种情况下，[κ] 2表示 κ 的 2 元素子集的集合，并且 κ 的子集S对于f是齐次的当且仅当所有 [ S ] 2映射到 0 或所有它都映射到 1 .
“弱紧緻”这个名称是指如果一个基数是弱紧緻的，那麽某种相关的不定式语言满足紧緻定理的一个版本；见下文。
每个弱紧緻基数都是反射基数，也是反射基数的极限。这也意味着弱紧緻基数是Mahlo cardinals，并且小于给定弱紧緻基数的 Mahlo cardinals 的集合是平稳的。
等效
以下等价于任何不可数基数 κ：
κ 是弱紧緻的。
对于每个 λ
κ 是不可达的，并且具有树属性，也就是说，每棵高度为 κ 的树都具有大小为 κ 的级别或大小为 κ 的分支。
基数 κ 的每个线性顺序都具有顺序类型 κ 的升序或降序。
κ 是 Π 1/1-Indescribable。
κ 具有扩展属性。换句话说，对于所有U ⊂ V κ存在一个传递集X，其中 κ ∈ X和一个子集S ⊂ X，使得 ( V κ , ∈, U ) 是( X , ∈, S )的基本子结构. 在这裡，U和S被视为一元谓词。
对于 κ 的子集的基数 κ 的每个集合 S，存在一个决定 S 的非平凡 κ-完全滤波器。
κ 是 κ-可展开的。
κ 是不可达的，无限语言 L κ,κ满足弱紧緻性定理。
κ 是不可达的，无限语言 L κ,ω满足弱紧緻性定理。
κ 是不可达的并且对于每个传递集 M 与 κ 的基数 κ ∈ M , < κ M ⊂ M , 并且满足足够大的ZFC片段, 有一个基本的嵌入 j 从 M 到传递集 N 基数 κ 使得 < κ N ⊂ N , 有临界点 crit ( j ) = κ。（豪瑟 1991 年，定理 1.3）
一种语言L κ,κ被称为满足弱紧緻性定理，如果当 Σ 是基数最多为 κ 的一组句子并且每个少于 κ 元素的子集都有一个模型，那麽 Σ 有一个模型。强紧凑基数以类似的方式定义，而不限制句子集的基数。
Indescribable基数
在数学中，Q Indescribable基数是某种难以用某种语言Q描述的大基数。有许多不同类型的Indescribable的基数对应于不同的语言选择Q。它们是由Hanf & Scott (1961)介绍的。
基数κ称为Π米_
-Indescribable如果对于每个 Π m命题 φ，并且设置 A ⊆ V κ与 (V κ+n , ∈, A) ⊧ φ 存在一个 α < κ 与 (V α+n , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ。此处查看具有 m-1 量词交替的公式，其中最外层的量词是通用的。Σ米_
-Indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于 A）的优势，也无法通过任何具有 m-1 量词交替的 n+1 阶逻辑公式将 κ 与较小的基数区分开（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
如果基数 κ是 Π，则称它是完全Indescribable的米_
-对于所有正整数m和n都Indescribable。
如果 α 是一个序数，则基数 κ 称为α-Indescribable的，如果对于每个公式 φ 和V κ的每个子集U使得φ( U ) 在V κ+α中成立，有一个 λ
等效条件
一个基数是不可访问的当且仅当它是 Π0n-对于所有正整数n都Indescribable，等效地当它是 Π02-无法描述，如果它是 Σ11-无法形容。Π11- Indescribable基数与弱紧緻基数相同。
如果V=L，则对于自然数n >0，不可数基数是 Π1-Indescribable的当且仅当它是 (n+1)-平稳的。
大基数层次结构中的关係
基数是 Σ1n+1-Indescribable的当且仅当它是 Π1-Indescribable。Π 的性质1
-Indescribable的是Π1n+1. 对于 m>1，有 Π 的性质mn_-Indescribable的是 Σmn_和是 Σ 的性质mn_-Indescribable的是Πmn_. 因此，对于 m>1，每个基数要么是 Πmn+1-Indescribable或Σmn+1-indescribable 既是 Πmn_-Indescribable和 Σmn_-Indescribable，并且它下面的一组这样的基数是静止的。一致性强度为 Σmn_-Indescribable基数低于Πmn_-Indescribable，但对于 m>1，它与 ZFC 一致，即最小的 Σmn_-Indescribable的存在并且在最小的Π之上mn_- Indescribable基数（这由 ZFC 与 Π 的一致性证明mn_-Indescribable基数和一个 Σmn_- 上面Indescribable基数）。可测量的基数是 Π21-Indescribable，但最小的可测量基数不是 Σ21-无法形容。但是，假设选择，在任何可测量的基数之下都有许多完全无描述的基数。
完全Indescribable的基数在可构造宇宙和其他规范内部模型中仍然完全Indescribable，对于 Π 也是如此mn_和 Σmn_Indescribable。
Unfoldable基数
在数学中，可展开基数是某种大基数。
形式上，基数κ 是λ Unfoldable的当且仅当对于ZFC的基数 κ 的每个传递模型 M负幂集使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，有将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中 j 的临界点为κ 且j (κ) ≥ λ。
一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-Unfoldable的。
一个基数κ 是强 λ Unfoldable的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N 包含所有长度为 λ 的序列。
同样，一个基数是强Unfoldable的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-Unfoldable。
这些性质本质上是强和超紧基数的较弱版本，与V = L一致。许多与这些基数相关的定理都可以推广到它们的可展开或强展开对应物。例如，强展开的存在意味着适当强迫公理的稍弱版本的一致性。
Ramsey 基数是可展开的，并且在 L 中将是强展开的。然而，它可能无法在 V 中强展开。
在 L 中，任何可展开的基数都是强可展开的；因此可折叠和强可折叠具有相同的一致性强度。
基数 k 是 κ-强可展开的，并且 κ-Unfoldable，当且仅当它是弱紧緻的。一个 κ+ω-unfoldable 基数是完全Indescribable的，并且前面是一组完全不可描述的固定基数。
Shrewd基数
在数学中，Shrewd基数是由（Rathjen 1995 ）引入的某种大基数，扩展了Indescribable基数的定义。
对于序数λ，基数κ 称为 λ-shrewd，如果对于每个命题φ，并且设置 A ⊆ V κ与 (V κ+λ , ∈, A) ⊧ φ 存在一个 α, λ' < κ 与 ( V α+λ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ。如果它对于每个 λ [1]（定义 4.1）（包括 λ > κ）都是 λ-shrewd，则称为 shrewd 。
这个定义将Indescribable性的概念扩展到超限水平。对于任何序数 μ < λ，λ Shrewd基数也是 μ Shrewd的。（推论 4.3） Shrewdness 由Michael Rathjen开发，作为他对Π 1 2 -comprehension的序数分析的一部分。它本质上是可接纳序数稳定性性质的非递归模拟。
更一般地，基数 κ 被称为 λ-Π m -shrewd 如果对于每个 Π m命题 φ，并且设置 A ⊆ V κ与 (V κ+λ , ∈, A) ⊧ φ 存在一个 α, λ' < κ 与 (V α+λ' , ∈, A ∩ V α ) ⊧ φ。[1]（定义 4.1） Π m是Lévy 层次结构的级别之一，简而言之，看一下具有 m-1量词交替的公式，最外面的量词是通用的。
对于有限的n，一个n -Π m -精明的基数与一个 Π m n -不可描述的基数是一样的。
如果 κ 是一个Subtle基数，那麽 κ-srewd 基数的集合在 κ 中是静止的。（引理 4.6） Rathjen 没有说明Subtle基数与可展开的基数相比如何。
λ-shrewdness 是 Drake 中定义的 λ-Indescribable性的改进版本；这个基本属性的不同之处在于反射的子结构必须是 (V α+λ , ∈, A ∩ V α )，使得基数 κ 不可能是 κ Indescribable的。此外，单调性特性也丢失了：对于某些序数 α < λ，λ-Indescribable的基数可能无法成为 α-Indescribable的。
